1、1/55这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。代数学数学中研究数的部分几何学数学中研究形的部分分析学数学中沟通形与数且涉及极限运算的部分2/55代数学算术初等代数 实数有理数无理数、加减乘除高等代数 矢量矩阵、线性变换数论抽象代数 抽象元素、代数运算3/55抽象代数系统的应用 毫无疑问，没有抽象代数结构研究和数理逻辑研究的先行发展，图灵就不可能在 1936年提出 图灵机 这样的代数结构作为计算的模型。 在上世纪 4050年代，格和布尔代数成为电子计算机 硬件设计 以及 通信系统设计 中的重要工
2、具， 而半群理论在 自动机 和 形式语言 研究中发挥了重要作用。 70年代在数据库研究中人们发现关系代数理论能够作为 数据库 的理论模型； 泛代数和多类代数是 程序设计方法学 研究中的有力工具； 抽象数据类型代数规范理论和技术广泛应用于计算机 软件形式说明和开发 以及 硬件体系结构设计 。4/5511.1 代数运算的基本概念 1.二元运算定义及其实例一元运算定义及其实例2.运算的表示3.二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律4.二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元5/55代数运算定义 1：设 A、 B、 D是三个任意的非空集。一个 A B到 D 的函数 * ，叫做一
3、个 A B到 D的 代数运算 。对 A中的任意一个元素 a和 B中任意一个元素 b，即对 A B中的 任意元素 (a,b), 存在唯一的 dD，使得 * (a， b)=d记之为a*b =d6/55集合 A上的代数运算定义 2 设 A， B是两个非空集合。若 * 是 AA到 B的一个运算，则称 * 是 集合 A上 的一个代数运算或 二元运算 。7/55闭运算设 * 是 AA到 B的一个运算，若 B A，说 *是集合 A上的 闭运算 。也说集合 A对运算 * 是封闭的。 1、 集合 A中任意两个元素可以进行该运算；2、 运算的结果仍然属于集合 A8/55闭运算的例子例 1 (1) N 上的二元运算
4、：加法、乘法 . (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法 . (3) 非零实数集 R* 上的二元运算 : 乘法、除法 . (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二 元运算 . 二元运算的 实 例（ 续 ）9(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算 . (6) 幂集 P(S) 上的二元运算： , , . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算 . 10一元运算的定义与实例（补）定义 设 S 为集合，函数 f： S S 称为 S 上的一元运算，简称为 一元运算 . 例 2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算 : 求相反数(2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元运算 : 求倒数(3) 复数集合 C 上的一元运算 : 求共轭复数(4) 幂集 P(S) 上 , 全集为 S: 求绝对补运算 (5) A 为 S 上所有双射函数的集合， ASS: 求反函数 (6) 在 Mn(R) ( n2 )上，求转置矩阵
