1、第六章 代数系统回顾 代数系统 定义 性质 同态定义 定义 性质 同构定义 定义 性质 6(1).4 同余关系 定义 6(1).4.1 给定 且 E为 S中的等价关系。 E关于 有代换性质： (x1)(x2)(y1)(y2)(x1，x2， y1， y2 S x1Ex2 y1Ey2) (x1y1)E(x2y2)。 E为 中的同余关系： E有代换性质。 与此同时，称同余关系 E的等价类为同余类。 由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。即在 x1y1中，如果用集合 S中的与 x1等价的任何其它元素 x2代换 x1，并且用与 y1等价的任何其它元素
2、 y2代换 y1，则所求的结果x2y2与 x1y1位于同一等价类之中。亦即若 x1E = x2E并且 y1E = y2E，则 x1y1E = x2y2E。此外，同余关系与运算密切相关。 如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质 。如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同余关系不存在。 例 6(1).4.1 给定 ，其中 Z是整数集合， +和 是一般加、乘法。假设 Z中的关系 R定义如下： i1Ri2： = | i1 | = | i2 | 其中 i1、 i2 Z 试问， R为该结构的同余关系吗？ 其中 | i1 | 表示 i1的绝对值 . 相等关系是等
3、价关系是明显的，只要证它满足代换性即可即证对任意的 i1,i2,i3,i4Z和i1Ri2i3Ri4 | i1 | = | i2 | | I3 | = | i4 | | i1+i3 |= | i2+i4 | 对 i1=1, i2=1, I3 =3, i4=-3 | i1+I3 |=4 | i2+i4 | =2 即对 +不满足代换性，即不是 的同余关系 可见，考察一个等价关系 E对于有多个运算的代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后问题，选择得好，即你一下子就考察到了 E对某个运算是不具有代换性质，那么立刻便可断定 E不是该结构的同余关系，否则验证应继续下去，直至遇到不具有代换性质的运算为止。如
4、果对于所有运算都有代换性质，则 E为该结构的同余关系。在例 6.4.1中，首先发现 R对于 +不具有代换性质，那么可断定 R不是该结构的同余关系。如果你首先验证是 R对于 的代换性质，结果 R对于 有代换性质，至此你只是有希望 E是同余关系，但还得继续工作，考察 R对于+的代换性质，由此结果才能判定 R是否为该结构的同余关系。 有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理： 定理 6(1).4.1 设 与 是同类型的且 f为其同态映射。对应于 f，定义关系 Ef如下： xEf y： f(x)= f(y)， 其中 x， y S 则 Ef是 中的同余关系，并且称 Ef为由同
5、态映射 f所诱导的同余关系。 由于同态映射不惟一，根据定理 6(1).4.1，可以推知同余关系也不惟一。 例 6(1).4.2 设 与 是同类型的，其中 Z是整数集合， B = 0， 1， 和 定义如下： i = i + 1 i Z b =(b+1)(mod 2) b B 又设 f BZ： f(i)=(i)(mod 2) 其中 i Z 试指出 f所诱导的同余关系。 解： f诱导的同余关系为 Ef iEfj:=f(i)=f(j)即 i(mod2)=j(mod2) 显然 Ef是个等价关系，（自反、对称、可传递），现在我们只要说明 Ef满足代换性 对任何 i,jZ和 iEfj来推证 iEfj即由 i(mod2)=(j)(mod2) (i+1)(mod2)=(j+1)(mod2) 因为 (i+1)(mod2)=(i)(mod2)+1(mod2)(mod2) (j+1)(mod2)=(j)(mod2)+1(mod2)(mod2) 于是 (i+1)(mod2)=(j+1)(mod2) 即 Ef是满足代换性的，从而证明了 Ef是同余关系而且是由 f所诱导的
