1、概率论与数理统计第 四 章随机变量的数字特征第四章 随机变量的数字特征v 在前面关于 随机变量及其分布的讨论中，我们较仔细地讨论了随机变量 的概率分布， 我们看到随机变量 的概率分布 (分布函数或分布列和概率密度 )是 随机变量 的概率性 质 最完整的刻划，是能 够 完整地描述 随机变量 的 统计规 律的 .v 但是在 许 多 实际问题 中，求概率分布不是一件容易的事；另一方面，有 时 不需要知道 随机变量 的概率分布，而只需要知道它 的某一方面的性质 . v 例如，考察某种大批生产的元件的寿命，如果知道了它的概率分布，就可以知道寿命在任一指定的界限内的元件的百分率有多少，这对该种元件的寿命状
2、况提供了一幅完整的图景 .v 下面我们将看到，根据这一分布我们可以算出元件的平均寿命值 m， 这个数 m虽然不能对元件的寿命状况提供一个完整的 刻划，但却在一个重要方面，且往往是人 们 最 为 关心的一个方面，刻划了 元件寿命的状况，因而在应用上有极重要的意义 .v 类似的情况很多，比如我们在了解某一个行业的经济状况时，我们首先关心的恐怕会是其平均收入，这给了我们一个总的印象；至于收入的分布状况，除非为了特殊的研究目的，倒反而不一定是最重要的了 . v 另一类重要的数字特征，是衡量一个随机变量 (或其分布 )取值的散布程度 .v 例如，两个行业工人的平均收入大体相近，但一个行业中工人收入的分配
3、较平均，即大多数工人的收入都在平均值上下不远处，其 “ 散布 ” 小；另一个行业则相反，其收入远离平均值者很多， “ 散布 ”较大，这二者的实际意义当然很不同 .v 又如生产同一种产品的两个工厂，各自的产品平均说来都能达到规格要求，但一个工厂的波动小，较为稳定，另一个工厂则波动大，有时质量超标准，有时则低于标准不少，这二者的实际后果当然也不同 . v 上面提到的平均值和散布程度，是 刻划 随机变量性质的两类最重要的数字特征 .v 对于多维随机变量而言，则还有一类 刻划各分量之间 的关系的 数字特征 .v 在本章中，我们将要介绍的数字特征有：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩 .v 引例 考试
4、的平均成绩问题v 假设有 n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是：第一个同学得了 a1分，第二个同学得了 a2分， ，第 n个同学得了 an分，那么他们这种考试的平均成绩v 引例 考试的平均成绩问题v 假设有 n名同学参加了某种考试，考试后的成绩是：第一个同学得了 a1分，第二个同学得了 a2分， ，第 n个同学得了 an分 .v 将他们的成绩进行了汇总，发觉得 x1分的人有 n1个，得 x2分的人有 n2个， ，得 xk分的人有 nk个，其中n1+n2+ nk=n， 那么他们这种考试的平均成绩第四章 随机变量的数字特征v 4.1 随机变量的数学期望 v 4.1.1 离散型随机变量的数学期望 v 定 义 4.1 设 离散型随机变量 X的分布列为P(X=xk)=pk， k=1,2, 若 级 数v 绝对 收 敛 ，即 v 则 称 该 级 数 为 离散型随机变量 X的 数学期望 或 均值，记为 EX或 E(X)，即
