1、第四节 连续型随机变量及其概率密度4.1 基本概念及性质一连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量 X 的分布函数 (x)，存在非负可积函数 f (x)，使得对任意实数 x ，有则称 X 为 连续型随机变量 ， 称 f(x) 为随机变量 X的 概率密度函数 ，简称为 概率密度 或 密度函数 , 记作： X f (x) 几何意 义 ：由分布函数 F (x) 的定 义 ：以及定 积 分的几何意 义 ，可以知道 F (x) 表示随机 变 量 X 落在区 间 上的概率，且 这 个概率等于区 间 上曲 线 y = f (x) 与 x 轴 所 围区域的面 积 易见概率密度具有下列性质：（ 1）（ 2
2、）注： 上述性质的几何意义是：介于曲线 y = f (x)与 x 轴之间的面积等于 1，即随机变量 X 的取值落在区间 上的概率为 1（显然这是一个必然事件）另外，可证一个函数若满足上述性质，则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数 二基本性质1. 对一个连续型随机变 量 X，2 连续型随机变量 X 取任一指定值 a ( a R ) 的概率为 0【注意 】由此性质可以知道：若 A 是不可能事件，则有 P (A) = 0；反之，若 P (A) = 0，却不一定意味着 A 是不可能事件 3若 f (x) 在点 x 处连续 ， 则 有： 4 X 落在小区 间 上的概率近似等于，即 5 F
3、 (x) 是一个 连续 函数三 应 用 实 例I已知密度函数求分布函数例 1 已知求： F (x)， ， 解： 当 时 ， ；当 时 ，当 时 ，综 上，得 X 的分布函数 F (x) 为 ：因而有：II已知分布函数求密度函数例 2. 设连续 型随机 变 量 X 的分布函数 为求 X 的密度函数 f (x)。解：【 小 结 】1. 如果 连续 型随机 变 量的分布密度 为 分段函数时 ， 则 它的分布函数也是分段函数；2. 分布密度 为 分段函数 时 ，将密度函数代入 积 分时 ，要将无限区 间换为 相 应 的有限区 间 ；3. 一般地，如果一个 连续 型随机 变 量 X f (x) 且 f (x) 只在某一区 间 a, b（或 (a, b) ）上有非零表达式， 则 其分布函数 的形式 为 ：4.1 常用的 连续 型分布一均匀分布定 义 若 连续 型随机 变 量 X 的概率密度 为 ：则 称 X在区 间 (a,b)上服从 均匀分布 ， 记为 ：X U (a,b)注：在区 间 (a,b)上服从均匀分布的随机 变 量 X, 其取 值 落在 (a,b)中任意 长 度相等的子区 间 内的概率都相同，且与子区 间 的 长 度成正比
