1、5.5 充分统计量充分统计量5.5.1 充分性的概念例 5.5.1 为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其 10次，发现除第三、六次未命中外，其余 8次都命中。这样的观测结果包含了 两 种信息：(1) 打靶 10次命中 8次；(2) 2次不命中分别出现在第 3次和第 6次打靶上。第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。一 般地，设我们对该运动员进行 n 次观测，得到 x1, x2, xn，每个 xj 取值非 0即 1，命中为 1，不命中为 0。 令 T = x1+ xn ， T为观测到的命中次数 。在 这种场合仅仅记录使用 T 不会丢失任何与命中率 有关的信息
2、，统计上将这种 “样本加工不损失信息 ”称为“充分性 ”。样 本 x=(x1,x2, xn) 有一个样本分布 F (x)，这个分布包含了样本中一切有关 的信息 。统计量 T =T (x1,x2, xn) 也有一个抽样分布 FT(t) ，u当 我们期望用统计量 T 代替 原始样本并且不损失任何有关 的信息时 ，u也 就是期望抽样分布 FT(t) 像 F(x) 一样 概括了有关 的一切信息 ，u这 即是说在统计量 T 的取值为 t 的情况下样本 x 的条件分 布 F(x|T=t) 已不含 的信息 ，u这 正是统计量具有充分性的含义。定义 5.5.1 设 x1, x2, , xn 是来自某个总体的样
3、本，总体分布函数为 F ( x ; )，统计量 T = T(x1, x2, , xn) 称为 的 充分统计量， 如果在给定 T 的取值后， x1, x2, xn 的条件分布与 无关 .习题 5.5 2 45.5.2 因子分解定理充分性原则： 在统计学中有一个 基本原则 -在充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序 。直接由定义出发验证一个统计量是充分统计量是困难的。因子分解定理： 简单的方法判断一个统计量是否充分定理 5.5.1 设总体概率函数为 f(x ; )， X1, , Xn 为样本，则 T=T(X1, Xn) 为充分统计量的充分必要条件是：
4、存在 两 个函数 g(t; )和 h(x1, , xn)， 使得对任意的 和任一组观测值 x1, x2, xn，有f(x1, x2, xn; )=g(T(x1,x2, xn); )h(x1,x2, xn) (5.5.2)其 中，l g(t, )是通过统计量 T 的取值而依赖于样本 的；l h(x1,x2, xn) 是样本的函数，与 无关例 5.5.4 设 x1, x2, , xn是取自总体 U(0, )的样本，即 总体的密度函数 为p(x ; )=1/ , 0 x 0 , 其他于是 样本的联合密度函数 为p(x1;) p(xn;)= 0, 其它 (1/)n, 0minximaxxi取 T =x(n)，并令 g(t ; )= (1/)nIt, h(x)=1，由因子分解定理知 T =x(n) 是 的充分统计量。p(x1;) p(xn;)= 0, 其它 (1/)n, 0minximaxxi由于诸 xi0，所以我们可将上式改写为p(x1;) p(xn;) = (1/)nIx(n)
