1、 5.2 幺元、零元和逆元 n5.2.1 幺元n5.2.2 零元n5.2.3 逆元n5.2.4 独异点5.2.1 幺元n 设代数系统 ， 运算的左幺元 若 el A对 x A有 el x x 右幺元 若 er A对 x A有 x er x幺元 若 e A对 x A有 e x x x e5.2.1 幺元n 例如，设 A 1,2,3,4， A上的二元运算 与 的 运算表 如下： 1 2 3 412341 3 2 41 2 3 43 3 3 31 2 3 4 1 2 3 412342 1 4 11 2 3 44 3 2 34 4 4 45.2.1 幺元n 定理 5.2.1设代数系统 ，若 A中有关于
2、运算 的左幺元 el与右幺元 er，则 el er e，且 A中幺元唯一。证明 el el er er假设 A中有两个幺元 e与 d，则 d d e e 5.2.1 幺元n 例如 ,设 代数系统 ,其中 R是实数集 ,与 是实数加与乘运算。n 关于 ，对任意 x R由于 0 x x，所以 0是的 左 幺元由于 x 0 x，所以 0是的 右 幺元n 关于 ，对任意 x R由于 1x x，所以 1是 的 左 幺元由于 x1 x，所以 1是 的 右 幺元5.2.1 幺元n 例如 ，代数系统 ，其中 P(A)是有限集合 A的幂集， 与 是集合交与并运算。n 关于 ，对任意 x P(A)由于 Ax x，
3、所以 A是 的 左 幺元由于 xA x，所以 A是 的 右 幺元 n 关于 ，对任意 x P(A)由于 x x，所以 是 的 左 幺元由于 x x，所以 是 的 右 幺元 5.2.1 零元n 设代数系统 ， 运算的左零元 若 ol A对 x A有 ol x ol 右零元 若 or A对 x A有 x or or零元 若 o A对 x A有 o x o x o5.2.2 零元n 例如，设 A 1,2,3,4， A上的二元运算 与 的 运算表 如下： 1 2 3 412341 3 2 42 2 2 23 3 3 31 2 3 4 1 2 3 412342 1 3 11 2 3 43 3 3 34 4 3 45.2.2 零元n 定理 5.2.2设代数系统 ，若 A中有关于运算 的左零元 Ol与右零元 Or，则 Ol Or O，且 A中零元唯一。证明 Ol Ol Or Or假设 A中有两个零元 O与 d，则 d d O O 5.2.2 零元n 例如 ,设 代数系统 ,其中 R是实数集 ,与 是实数加与乘运算。n 关于 ，对任意 x R由于 ？ x？， 所以没 左 零元由于 x？， 所以没 右 零元n 关于 ，对任意 x R由于 0x x， 所以 0是 的 左 零元由于 x0 x， 所以 0是 的 右 零元
