1、1离散数学（二）置换群和循环群置换群11循环群2主要内容 :置换群和循环群的结构重点 : 两面体群难点 :重点和难点:凯莱表示定理3一、置换群置换的定义：有限集 A上的双射函数称为 A上的 置换或排列 。如 A=1,2,3,4, h: A A, h(1)=3, h(2)=2, h(3)=4, h(4)=1，此置换可表示为：A=a1,a2,a n，即 |A|=n时，称为 A上的置换为 n次置换。 A上的 n次置换 p可表示为：一、置换群|A|=n时， A上有 n!个 n次置换 , 如 A=1,2,3时 ,置换的合成运算 ：左合成运算： , p1 p2, 先进行 p2置换 , 再进行 p1置换。
2、右合成运算： , p1 p2, 先进行 p1置换 , 再进行 p2置换。一般地， |A|=n时，记 A上所有置换集合为 Sn, |Sn|=n!一、置换群不难验证： (右合成运算 ： , p1 p2, 先 p1置换 , 再 p2置换 )(1) 是一个代数；(2) 是一个群。给定集合 A, (1) Sn关于运算 封闭(2) A上所有置换对运算 而言满足结合律(3) Sn关于运算 存在么元 恒等置换，恒等函数，又称么置换(4)每一置换都有逆置换 逆函数所以 是一个群。一、置换群给定 n个元素组成的集合 A:A上的 若干置换 所构成的群称为 n次置换群 ；A上 所有置换 构成的群称为 n次对称群 ,
3、。n次对称群 的子群即为 n次置换群。例 1 令 A 1,2,3， A上置换的全体 S3=pi i = 1,2,3,4,5,6。p1为恒等置换 ， p2-1 p2， p3-1 p3 ， p4-1 p4 ， p5-1 p6 为三次对称群 为 2阶三次置换群 为 3阶三次置换群一、置换群为三次对称群 ,其运算表如下表所示 :一、置换群例 2 两面体群 (a) 给定正三角形 123(如左下图所示 ), 将三角形围绕重心 O旋转 , 分别旋转 0, 120, 240。 可以把每一旋转看成是三角形的顶点集合 1, 2, 3的置换 , 于是有一、置换群例 2 两面体群 (续 ) 再将三角形围绕直线 1A、 2B、 3C翻转。又得到顶点集合的置换 :正三角形的旋转和翻转在合成运算下可构成群 , 就代表这个群。 一、置换群例 2 两面体群 (续 ) (b)正四边形通过旋转和翻转也可以形成四个顶点集合 1, 2, 3, 4的置换 (见下图 ):
