1、1第 3篇 代数系统（ Algebraic System）2第 5章 代数结构（ algebraic structure ） 1 代数系统的引入2 运算及其性质3 半群4 群与子群5 阿贝尔群和循环群6 陪集与拉格朗日定理7 同态与同构8 环和域31 代数系统的引入定义：定义： 如果 为 An到 B的一个函数，则称 为集合 A上的 n元运算（operater）。如果 BA，则称该 n元运算 在 A上 封闭。41 代数系统的引入本章主要讨论一元运算和二元运算。例：（ 1）在整数 I和实数 R中 ,+,-,均为二元运算。 （ 2）在集合 Z的幂集 (z)中 ,均为二元运算 ,而 “”是一元运算；5
2、1 代数系统的引入（ 3） 命题公式 中 , 均为二元运算,而 “ ” 为一元运算（ 4） 双射函数 中 ,函数的合成运算是二元运算；二元运算常用符号：+,等等。61 代数系统的引入定义 :一个非空集合 A连同若干个定义在该集合上的运算 f1,f2,.,f k所组成的系统就称为一个代数系统，记作 。72运算及其性质定义 :设 *是集合 S上的二元运算 ,对任一x,yS有 xy S则称 运算在 S上是封闭的。81 代数系统的引入例：（ 1）在正整偶数的集合 E中 ,对 ,+运算是封闭的；在正整奇数的集合中 ,对 运算是封闭的 ,而对 +运算不是封闭的。（ 2）在前例中 ,R,I集合中 +,-,运算；(z) 的元素中 , ,运算等均为封闭的。92运算及其性质例题 : 设 A=x|x=2n,nN,问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？解 对于任意的 2r,2sA， r， sN，因为 2r2s=2r+sA,所以乘法运算是封闭。对于加法运算是不封闭的，因为至少有 2+22=6A102运算及其性质定义 :设 *是集合 S上的二元运算 ,对任一x,yS有 xy=yx,则称 运算在 S上是可交换的（ commutative ）或者说 在 S上满足交换律。
