1、第八章 自然数和基数8.1 自然数及数学归纳法8.2 基数自然数和归纳法主要概念： 集合的后继主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法自然数的引进方法 公理化方法：皮亚诺公理（ G. Peano）； 构造性方法：借助 集合论 ，具体构造出 N。自然数构造的出发点1) 自然数的 各种性质 ( 运算、大小次序 及 基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；2) 证明构造出来的 “自然数 ” 满足 Peano公理 ，因此具有普通自然数的一切性质。集合的后继定义 8.2 (后继集合 ) 对于任意集合 A，其 后继集合 A+ 定义为： A+ = A A 。 每个集合都有 唯一的 一个后
2、继。 引理 1 设 A 为任意集合， 则i) = ；ii) = , ；iii) A A ；iv) A A ；v) A 。构造自然数系统 N， +， 冯 诺依曼（ Von Neumann） 方案： 0 = 1 = 0+ = = 0 2 = 1+ = , = 0, 1 3 = 2+ = , , , = 0, 1, 2 n+1 = n+ = = 0, 1, , n 自然数集合 N（ 归纳定义法） i) 0 N， 这里 0 = ；ii) 若 n N ， 则 n N ；iii) 若 S N 满足 （ 极小化 ）1) 0 S2) 如果 n S, 则 n+ S则 S = N。大于 /小于、加法、乘法对每个自
3、然数 n N ， 皆有 n n 及 n n ， 据此有 :定义 8.4 若 m, n N 使 m n, 则称 m小于 n ( 或 n大于 m ), 记为 m n ( 或 n m)。“小于 ” 关系 是自然数集 N上的 反自反、反对称、传递的二元关系可以用 归纳定义法 在 N 上定义 “ + ” 与 “ ” 如下 ：加法 /乘法 对任意的 n, m N ， 令i) m + 0 = m， m 0 = 0ii) m + n+ = (m + n ) +， m n+ = m n + m 。引理 2 若 n N，则 n = n 。证明：令 S = n n N 且 n = n 显然 S N 。 为证明 S = N ，只需 验证 S 满足：1) 0 S。 因为 0 N 且 0 = = = = 0。2) 若 n S， 则 n N 且 n = n。 因此有 n N ， 此外 ( n ) = ( n n ) = ( n ) ( n ) = n n = n 。所以 n S 。由自然数集合 N 归纳定义法的 iii), 由 1) 和 2) 即知 S = N。
