1、一、模糊数学的产生 概念 ：内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性外延：符合此概念的全体对象 “人 ”， “法定年龄 ” ， “大于 9的自然数 ” “秃 ”和 “非秃 ”， “一粒 ”和 “一堆 ”， “高和矮 ” 模糊性（ Fuzzy）：客观事物差异的中间过渡中的不分明性 模糊概念： 没有明确外延的概念 模糊数学： 用严密的数学方法研究和处理具有模糊性现象的数学理论和方法目的： 尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意比秃子多一根头发的人仍是秃子第一章 模糊集合的一般概念1.1 集合的基本概念 论域 ：讨论所涉及到对象的全体，也称为全集。通常用大写的英文字母 U， V， W， X 、 Y、
2、 Z 等 表示论域。 元素 ：论域中的每个对象。 u, v, w， x， y 集合 ：给定论域 U和某一性质 P， U中具有性质 P 的元素组成的全体。 A, B, C 。 集合的表示法： 列举法，描述法 设 A 是集合， A的所有子集为元素做成的集合称为 A的幂集，记以 P (A)论域 U的任一子集 A有两种记法： A U 或 A P (U) 定义 1.2 特征函数给定论域 U， 对于论域 U上的任意一个子集 A（ A P (U) 或 A U ） ,定义一个从论域 U 到二元集合 0， 1的映射 :称 为 A的 特征函数 ， 为元素 对子集 A的隶属程度，简称 隶属度 。特征函数是从论域 U
3、到二元集合0， 1的映射 ，如图所示：显然，只要给出论域 U的一个子集 A， 就唯一地确定一个 A的特征函数 ；反过来，给出 U 中一个特征函数 ，也唯一地确定了 U 的一个子集 A 。集合与特征函数在运算上的关系（ 1） 包含（ 2） 相等（ 3） 并集（ 4） 交集（ 5） 补集引入实数间 “取大 ”和 “取小 ”的运算符号（逻辑中的或、与） “ ”和 “ ”代替通常使用的 “max”和 “min”。罗素悖论： 集合 S=A|A是集合，且 AA 理发师的故事：不给自己刮脸的人刮脸；只给所有自己不刮脸的人刮脸。1.4 模糊子集的定义及运算1.4.1 模糊子集的定义及运算模糊子集的定义及运算引
4、例： 论域 U=a， b， c， d， 概念 “圆块 ” “d”和 “a”具有很大的差异，但从 “d”到 “a”不是具有突变的差异，而是采取了一个又一个中间过渡状态“b”和 “c”。处于中间过渡的差异 “b”和 “c” ，便具有了 “亦此亦彼 ”性。aUbcd=1 =0.7=0.4=0模糊概念不能用普通集合来刻画，只能用模糊子集（集合）来表示，而模糊子集需要通过隶属函数来描述。与普通集合 “非此即彼 ”性不同，模糊子集（集合） 允许 “亦此亦彼 ”的中间状态存在 ，而对应的 特征函数 的取值除了 0和 1外，还可以取 0， 1区间中的任何实数，这种 推广了的特征函数 称为 隶属函数 。定义 1
5、.2 特征函数 给定论域 U， 对于论域 U上的任意一个子集A（ A P (U) 或 A U ） ,定义一个从论域 U到二元集合 0， 1的映射 :称 为 A的 特征函数 ， 为元素 对子集 A的隶属程度，简称 隶属度 。1.3 隶属隶属给定给定 论域 U， 以及映射 称由此映射所决定的子集为 U上的一个模糊子集，记为 ，而称映射 为 的隶属函数。 称 为元素 对模糊子集 的隶属度。特征函数是从论域 U到二元集合0， 1的映射 ，如右图所示：隶属函数是从论域隶属函数是从论域 到闭区间到闭区间 0， 1 的映射的映射 ，如左图所示：，如左图所示：显然，只要给出论域 U 的一个子集 A， 就唯一地确定一个 A的特征函数 ；反过来，给出 U中一个特征函数 ，也唯一地确定了 U的一个子集 A 。表示元素 对模糊子集 的隶属度，当 （隶属函数）的值域为 0， 1时，没有中间过渡状态， 退化为一个普通集合的特征函数 ， （模糊子集）退化为普通集合 A。 一、当论域 U=u1， u2， u3， un由有限个元素组成时（有限论域） (1)向量法 ： 论域 U中模糊子集可以用向量表示(2)元素对法 ：论域中的元素 及其对模糊子集 的隶属度 组成。 (3)分式求和法 ：（ zadeh表示法）
