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运筹学教程课件八-生灭服务系统.ppt

1、第八章 生灭服务系统M/M/n 系统鱼与熊掌兼得?18.1 M/M/n 损失制8.1.1 M/M/n 损失制,无限源 (M/M/n: /n/FIFO) 令从顾客源来的顾客到达率为 , 每台的服务率为 则有 j = , j=0,1, . , n1; n=0, j = j, j=0,1, . , n 将 j , j 代入生灭方程,得 式中 =/ 称为 业务量 (traffic), 是无量纲量 ; 表示单位时间内要求系统提供的服务时间; 和 的单位必须一致;由于纪念 Erlang, 用 爱尔兰 作单位 (Erl) 2系统的服务质量 系统的质量用顾客的损失率来度量,有两种度量方法 按时间计算的 损失率

2、 pn,即 单位时间内服务台全被占用的时间 按顾客计算的 损失率 B, 即单位时间内损失的顾客数与到达顾客数之比 在本系统中有 B=pn=En(), 称为 爱尔兰损失公式 不是所有系统都有 B=pn 的性质 工程上经常是已知 ,给定 B, 求所需最少的服务台 n 求 n 一般有三种方法:迭代计算,查图,查表 3求所需服务台的方法1、查图,如书上 P186页2、 迭代计算 无法由 En() 给出 n 的 逆函数,因此采用逐次试算的方法 注意, En() 有较简单的递推公式3、工程上经常采用查表的方法 爱尔兰表最左边一列为服务台数 n, 最上面一行为服务质量的不同等级,即 B 爱尔兰表中元素的值为

3、 ,表示服务台数为 n, 服务质量为 B时,系统最大所能承担的业务量;工程上经常用 A表示 , A 是 加入话务量4爱尔兰损失表n=3, B=0.01, 查表得 =0.455已知 n 和 如何求 B, 线性内插法 ;例: n=3, =2.5, 由表可知 B 落在 0.20.3 之间,若假设在这区间所承担的业务量与 B 成线性关系,则有 线性内插公式B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281 5例 1 M/M/n 损失制无限源系统,已知 n=3, =5人 /小时,平均服务时长 30分钟 /人 ,试求: (1)系统中没有顾客的概率; (2)

4、只有一个服务台被占用的概率; (3)系统的损失率解 :由题意可知 =60/30=2人 /小时,所以 =/ =2.5Erl(1) p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)1=0.108(2) p1= p0=2.50.108=0.27(3) B=E3(2.5)=p0 3/3!=0.108 2.604=0.28例 2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为 240, 每次通话平均时长为 5 分钟,规定两局间中继线的服务等级为 B 0.01,问: (1) 应配备多少条中继线? (2)中继线群的 利用率 为多少?解 :中继线群上的加入话务量为 =240 5/60= 20Erl,(1)查 186页图,

5、n=30条;(2)查爱尔兰表可知: n=30, B=0.01时 可承担 A=20.337,B=0.005 时 可承担 A=19.034, 因此, E30(20)=0.005+0.005 (2019.034)/(20.33719.034)=0.008707中继线群利用率 = (1B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862 6服务台利用率与服务台数量的关系 n 图当给定 n 和 B 后,系统所能承担的业务量 可以通过爱尔兰公式求出,从而可计算出服务台利用率 ;若保持 B 不变,不断增加服务台数 n, 也会发生变化,就可以得到n 图如下;通过观察,有几点结论:1、 B不变时, 随

6、 n 增加;说明大电路群效率高2、 n 不变时, 随 B 增加;说明效率与质量是矛盾的; (高效路由 )3、 具有 边际递减 规律4、 越大,系统抗过负荷能力越差7系统过负荷特性 B 图 过负荷 是指系统加入的业务量 A, 超过给定服务质量所能承担的业务量 A 过负荷用过载业务量与标准应承担的业务量的比值来表示,即 = (AA)/A = A/AEn(A) = B, En(A) = B 由图可见,在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下,大系统的质量劣化严重;说明效率与可靠性是矛盾的8例 3 某服务部门把顾客分为两组,分别组成两个单独的服务系统。各系统的到达率分别为 1 =4人 /小时, 2 =8

7、人 /小时,每人的平均占用时长都为 6 分钟;给定损失率为 B 0.01 , 试求:(1)分组服务时每组应配备的服务台数; (2)合并为一个服务系统时,各种条件不变,应配备的服务台数; (3)比较两种组织方式的服务台利用率。解 : (1) 分组时: 1=4 0.1=0.4Erl, 2=8 0.1=0.8Erl查爱尔兰表,得 n1=3台, n2=4台,共需 7台。B1=0.005+0.005 (0.40.349)/(0.455 0.349)=0.0074B2=0.005+0.005 (0.80.701)/(0.869 0.701)=0.00795 = 1(1 B1)+2(1 B2)/(n1+n2

8、)=0.17(2) 合组时: =12 0.1=1.2Erl, 查爱尔兰表,得 n =5台,节省了 2台。B =0.005+0.005 (1.21.132)/(1.3611.132)=0.006485 = (1 B)/n=0.23898.2.1 M/M/n 损失制,有限源 (M/M/n: N/n/FIFO)例 交换机内部有 n 条绳路, N条入中继线, N n; 每条入中继线上的呼叫到达强度为 ,且为波松分布,通话时长为负指数分布 (参数为 ), 问入中继线上呼叫的损失率为多少?上述例子就是一个 M/M/n 损失制,有限源系统。当已经接受绳路服务的中继线在通话中,该中继线上就不会有新的呼叫。因此,整个系统的呼叫到达率是与系统中被服务的中继线数相关的。这就是有限源系统的特点显然,系统在各状态下的到达率和离去率分别为j =(N j), j=0,1, . , n1, n=0, j = j, j=1, . , n将 j , j 代入生灭方程,得10

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