1、 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差 . 对于二维随机变量 (X,Y)，反映两个分量 X与 Y之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的协方差和相关系数 4-3 协方差、相关系数和矩 一 .协方差与相关系数的概念1.定义设二维随机变量 (X,Y),它的分量的数学期望为 E(X), E(Y)，若 E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称它为 X,Y的协方差，记为Cov (X,Y), 即Cov(X, Y ) = E(X-E(X)(Y-E(Y) 2. 计算 (1) 若二维离散型随机变量 (X, Y)的联合分布律为 且 C o v(X,Y)存在 , 则 (2) 若二维连续型随机变量 (X,Y
2、)的联合概率密度为 f(x , y ), 且 C o v (X, Y)存在，则(3) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) （证明如下）Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若 X与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .即Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) 3.简单性质(5) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (2) Cov(X, Y)= Cov(Y,X)(4) Co
3、v(aX, bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数(6) 若 X,Y 的协方差 Cov(X,Y)存在，则E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y) (3) Cov(X, X)=D(X) Cov(X, a)= 0（ 5） 随机变量 和的方差与协方差的关系D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)若 X1, X2, , Xn两两独立 ,，上式化为例 1: 设 (X， Y)在圆域 上服从均匀分布，求 Cov(X, Y) 。简解 ：经过计算可得E(X)=0, E(Y)=0, Cov(X, Y)=0例如 :协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位的影响 . 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了 相关系数 .二 、相关系数为随机变量 X和 Y的相关系数 .1 定义 :若二维随机变量 (X, Y )的分量的方差D(X), D(Y)都存在，且 D(X)0, D(Y)0, 则称在不致引起混淆时，记 为 .
