1、习 题4.1 若群 G的元素 a均可表示为某一元素 x的幂，即a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成立，即 a,bG满足 ab=ba,则称这个群为阿贝尔群，试证明所有的循环群为阿贝尔群证明：设 G是一循环群，对任意的 a,bG,按定义 a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba,因此，循环群都是阿贝尔群。4.2 若 x是群 G的一个元素，存在一最小的正整数 m，使 xm=e，则称 m为 x的阶，试证：C=e,x,x2,x m-1是 G的一个子群证明：显然 C中元素都是 G中元素，只需证 C满中群的四个性质即可(1)封闭性 ,对任意的 xm,xnC,由结合性，设 m+n=r(m
2、od m-1)xmxn=xr,(2)结合律显然(3)单位元显然(4)逆元素为原群逆元素4.3 设 G是阶为 n的有限群，则 G的所有元素的阶都不超过 n单位元 e显然，对非单位元 a，显然4.4 若 G是阶为 n的循环群，求群 G的母元素的数目，即G的元素可表示成 a的幂： a,a2,a n的元素 a的数目。若 a是母元素，则 an=e若 ak(11,k=hb,n=hc,kn=(hb)(hc),则 (hb)c=kc=bn因此 akc=abn=e,cn矛盾4.5 试证循环群的子群也是循环群。显然。4.6 若 H是 G的子群， x和 y是 G的元素，试证：xHyH或为空，或 xH=yH。设 a,b
3、 H,xa=yb,xHyH存在 m H,xm属于 xH但不属于 yHx=yba-1,xm=yba-1m,由 H是 G的子群，因此ba-1m H, yba-1m yH也就是 xm yH，矛盾4.7 若 H是 G的子群， |H|=k,试证：|xH|=k, 其中 x G。只需证：对任意 a,b H,ab ,有 ab 即可 设 a,b H,ab ,有 xa=xb则左乘 x的逆得a=b矛盾4.8 有限群 G的阶为 n,H是 G的子群，则 H的阶必除尽 G的阶。用 4.6的结论4.9 有限群 G的阶为 n,x是 G的元素，则 x的阶必除尽 G的阶。用 4.2和 4.8的结论4.10 若 x和 y在群 G作用下属于同一等价类，则 x所属的等价类 Ex， y所属的等价类 Ey有 |Ex|=|Ey|。显然
