1、有限单元法应用中的若干实际考虑 第 5 章要点： （ 1）节点应力的计算与修正；（ 2）结构特点的考虑；（ 3）非协调单元简介1主主 要要 内内 容容5.1 引 言5.2 应力计算结果的性质与处理5.3 子结构法5.4 结构对称性与周期性的利用5.6 小 结5.5 非协调元与分片试验25. 1 引 言1. 有限单元法的求解过程（ 1）划分单元，输入节点和单元信息 前处理器（ 2）单元分析： N、 Ke、 Pe（ 3）整体分析：引入位移边界条件，得到（ 4）求解方程 得解 a （ 5）计算单元或节点的应力、应变。 求解器 后处理器的可视化表示。 32. 目前存在的问题（ 1） 的精度较低。如何由
2、应力、应变结果的特点改善其精度？（ 2）如何利用结构的几何特点、受力特点简化计算，减少工作量，提高计算效率？（ 3）如：结构与受力的对称性、周期性结构等；子结构法；非协调元概念与应用 （ Wilson 非协调元）。45.2 应力计算结果的性质与处理应力、应变的计算： 精度较低。误差的原因：（ 1）单元内平衡方程不能精确满足；（ 2）单元交界面上应力不连续；（ 3）边界上边界条件不能得到精确满足等；5.2.1 应力近似解的性质1. 位移解 a的性质a 有限元近似解， a 真实解由最小位能原理，可知， a具有下限的性质：原因：单元离散等相当于加大了原结构的刚度。 52. 应力、应变解 、 的性质设
3、 u 、 、 近似解， u、 、 真实解，有近似解对应的位能： P(u)实际的总位能 P(u)=0 2P(u)6在线弹性下，有对于一具体问题， P(u)应为 一定值， 则 P(u*)的极值问题归结为：2P(u)的 极小值问题。 将 2P(u)表示成单元位能泛函的形式，有7上式表明： 2P(u)的 极小值问题 求解 的加权二乘 最小值问题。即、 为 、 在加权（ D、 C） 最小二乘意义下的近似解。、 的特点： （ 1） 、 在真正解 、 上下振荡；（ 2）在某些点上有： = 、 =，即存在最佳应力点。利用 、 的上述特点，作适当处理，可提高应力、应变结果的精度。85.2.2 等参元的最佳应力点
4、如前所说，用位移法进行有限元应力分析归结为求泛函 (,)的极小值问题，即利用弹性力学的几何方程和物理方程，有可见：若近似解 u*是 p 次多项式， L为 m 阶微分算子，则 , 为 n= p m 次多项式。当 Jacobi行列式为常数时， 中被积函数为 2n 次多项式，因而要使它们能够精确积分，至少应采用 n+1 次 Gauss积分。也就是说，真实应力为 n+1 次多项式时，数值积分仍为精确的。即有下式精确成立： 9假设每一单元中的高斯积分点上 i(i =1,2, , ng)的每一分量的变分是独立的，则上式成立等价于或也就是说，即使真实应力 为 n+1 次多项式，仍有近似应力 等于真实应力。可见，若取 n+1阶积分，则 在积分点上具有比其本身 高一阶的精度。 对 ，也有同样的性质。结论：在等参单元中，单元中 n+1阶（ n =p m） Gauss积分点上的近似应力 比其它部位的应力具有较高的精度。 称 n+1阶 Gauss积分点为等参元中的最佳应力点。10
