1、第二讲有限差分方法基本原理1有限差分方法概述2有限差分法概述 1. 差分 方法离散点上利用 Taylor展开，把 微分 转化成 差分 j-2 j-1 j j+1 （等距网格）多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑）比有限体积法计算量小；便于构造高阶格式 ；3基本概念：a. 差分表达式及截断误差 :截断误差差分表达式（ 1阶） （ 2阶）b. 前差、后差、中心差 j-2 j-1 j j+1 前前差中心差后差其他： 向前（后）偏心差分 ； 后c. 差分方程经差分离散后的方程，称为差分方程精度如何确定精度？1） 理论方法， 给出误差表达式2）数值方法， 给出误差对的数值依赖关系微分方程 差分方程
2、截断误差：4d. 显格式及隐格式显格式： 无需解方程组就可直接计算 n+1层的值；隐格式： 必须求解方程组才能计算 n+1层的值e. 守恒型差分格式基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足定义：对于 上述 守恒型方程 ，差分格式称为守恒型差分格式。其中：特点： 消去了中间点上的值，只保留两端物理含义： 只要边界上没有误差， 总体积分方程 不会有任何误差。如果 是准确的，则 也是准确的 （假设边界条件没有误差）守恒性的例子：环形管道里的流动 总质量保持不变 早期 极为强调守恒性 最近 重新认识5关于守恒性格式的一些注解 中的符号 与函数 f 在 点的值 无关 ！是 j点周围几个点上 f (
3、或者 u)值的函数， 为一记号，请勿理解为 j+1/2点的值 ！1）2） 常系数线性格式都是守恒的例如，差分格式：等价于其中守恒方程 + 守恒格式 = 守恒解67f. 传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式传统型： 运用多个点函数值的组合逼近 一点的导数 j-2 j-1 j j+1 紧致型： 多个点函数值的组合逼近 多个点导数值的组合例：例：联立求解 ， 多对角方程 追赶法求解（ LU分解法） 紧致格式： 同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多） （最高）精度 =自由参数个数 -12. 构造差分格式的基本方法 待定系数法j-2 j-1 j j+1解出 ak（可选）化成守恒型小程序
4、： 求系数8更一般的情况： m+1个基架点上构造的 m阶差分格式：要善于用数值计算的手段研究 CFD ， 不能仅限于用理论手段研究 CFD !基架点 （ stencil ）3. 复杂网格的处理方法1） 一维情况： 非均匀网格方法 1 （常用）： 网格（ Jacobian）变换 j-2 j-1 j j+1 非均匀网格0,1的均匀网格 将方程由物理空间变到计算空间 （以 x 为自变量变为以 为自变量）为已知函数常用的一维坐标变换函数：指数函数双曲正切函数9物理坐标 计算坐标 要求： 坐标变换必须足够光滑，否则会降低精度网格间距变化要缓慢，否则会带来较大误差方法 2） 在非等距网格上直接构造差分格式 j-2 j-1 j j+1 原理： 直接进行 Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数解出系数注： 系数随网格点 (j)变化！10网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度；随机网格都可保证精度
