1、第二部分 可压缩流动的数值方法1第四讲 有限体积方法初步2概述 有限体积方法 : 基于积分型流体力学方程的数值方法3 研究内容：一维线性对流方程 的有限体积方法 。 有限体积方法：对积分型的守恒方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。 有限体积方法的出发方程是积分型的守恒方程。 对应的积分型守恒方程 ：微分型的守恒方程在有限控制体上积分，利用 Gauss公式，就可以得到积分型的守恒方程。对于 而言，其守恒形式为其中 。在控制体 上积分 式，可得积分型守恒方程为一、积分型守恒方程4二、空间控制体设求解域为 ，把求解域等分为 M分， ，定义数值解 存储在 。区域 称为第 j个控
2、制体，数值解 存储在第 j个控制体中心（图 4）。时间方向的离散与有限差分方法相同，即在给定 后， 。5三、有限体积方法 1：全离散形式把 式应用于第 j个控制体，有其中将该式沿时间方向在 之间积分，有到目前为止，我们没有引入任何近似，所以，积分得到的式子是精确成立的。6定义数值解在单元内的平均值为得到全离散有限体积方法的表达式为其中 称为数值通量一维问题有限体积方法的标准形式数值通量 为 在 之间的平均值。标准形式到目前为止，它是精确的。一旦求得数值通量，则我们可以通过计算出下一个时刻因变量在单元上的平均值。也就是说， 有限体积方法的解是因变量在单元上的平均值，而不是因变量在某一点上的值 。
3、7注意到 即为了计算数值通量，我们必须求得 之间的 。但是，由标准式，已知量只有 时刻单元平均值 。所以，为了求出 ，必须解决如下的两个问题：（ 1）由 ，求出 时刻数值解沿 x方向的分布 ，这一过程称为重构（ reconstruction）。（ 2）由 时刻数值解沿 x方向的分布 ，求出 之间的 以及数值通量 这一过程称为演化（ evolution）过程。有限体积方法中将在这两个过程中引入各种近似，从而把积分型方程化为代数方程 。下面分别讨论这两个过程。81. 重构最简单的重构过程为零阶重构，它假定 为分段常数，具体说是在每个控制体内物理量的分布为常数，即 。由 可知比零阶重构更精确的近似是所谓线性重构，即假定 为分段线性函数： 可见，在线性重构近似下，由所以9现在 仍是未知的，确定 的方法可以有很多种，其中之一是把 延拓到第 单元，要求其平均值为 ，即由此得： 另一种方法是把 延拓到第 单元，要求其平均值为 。此时 当然， 也可以取上述两个方案的某种平均。更高阶的重构方法（如 ENO/WENO格式 ）超出了本书的范围，在此不再介绍。这里我们指出，理论上，可以进行任意阶次的重构。 10
