1、计算固体力学64学时研 510周二、周四 9、 10、 11节第五章 单元构造与分析5.1 单元形状与节点数三节点三角形单元CST(常应变单元 )线性三角形单元六节点三角形单元线性应变三角形二次三角形单元八节点四边形单元三角形单元网格划分简单；常应变三角形单元对于弯曲，过刚；加密网格时可以收敛，收敛很慢；对于平面应变问题网格可能锁定；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于 CST单元四边形单元剖分比较困难 (但平面问题总的来说 ,剖分单元已可解决得 很好 )四节点四边形单元属于 Lagrange插值 .八节点四边形单元非完全二次元 ,属于 Serendipty单元四节点四边形单元双线性位移场第五章
2、 单元构造与分析5.1 单元形状与节点数四节点四面体单元线性位移场常应变十节点四面体单元完全二次位移场线性应变场八节点四面体单元Lagrange插值二十节点 Serendipity单元四面体单元划分网格简单，八面体单元划分网格困难得多，仍为研究前沿。5.2 插值函数形函数记场函数 (如位移 u,v,w)为 ，采用多 项 式插 值 函数计算该函数在单元节点的值，记为实现了用场函数在节点的值和形函数来表示场函数在单元内的分布矩形单元 Lagrange族和 Serendipty族n Lagrange插值法n 一维单元 Lagrange插值法q 线性单元q 二次单元X=0 X=LX3X1 X2二维矩形
3、四节点及九节点单元可用下列方式。类似可推出 16节点元 ,未知数太多 ,带宽不等；可以推广至三维问题；非完全二次函数非完全四次函数 ,相应于中间点的形函数是个泡泡函数 ,内部自由度= =2121),()(),(21 ),()(),(i jjijiijyNxNyx, i,jyNxNyxNfn Lagrange插值法n 一维单元 Lagrange插值法q 线性单元q 二次单元X=0 X=LX3X1 X2三维六面体八节点及二十七节点单元可用下列方式。可以推广至三维问题；非完全三次函数非完全六次函数 ,相应于中间点的形函数是个泡泡函数 ,内部自由度利用性质矩形单元 Lagrange族和 Serendi
4、pty族n Serendipty族单元内部没有节点 ,但边界有中间点，有比较巧妙的构造方法类似可推出 12节点元 ,未知数太多 ,带宽不等二维矩形八节点为例(-1,-1)(1,1)(1,-1)(-1,1) 边界中间节点 :用一个坐标是二次，另一个坐标是线性的Lagrange插值的乘积对于角节点：首先用 Lagrange线性函数，但这一函数在与该节点相邻的两边的中间点上不为零，需要减去其不为零的值和相应该边中间节点的形函数的乘积的和。例如 54 32768改进三角形单元角点有旋转自由度单元：应用于只有角节点的三角形单元；比 CST单元性能好，比 LST单元未知数少（每个单元 9个未知数）为了和梁
5、，板，壳连接需要，对于折板等计算特别有效。构造角点有自由度的单元可以从 LST单元退化而来，设想角点 i和 j发生旋转i jkm非协调元 6非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内宾自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或迭合；xy2a2b这样的单元比柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好；其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解）5.3 等参单元定义：xy (-1,1)(-1,-1) (1,-1)(-1,-1)映射坐标插值位移插值Ni是相同的等参单元等参单元的要点是：将任意物理空间坐标的单元变换到数学的自然坐标系中，采用的变换函数和描写场函数的单元形函数相同。如果位移映射的形函数阶数高，则称次参单元，否则称超参单元。等参单元使得我们可以处理非矩形、具有曲边的单元，能够使有限元模型更适应形状复杂的物体，等参元覆盖所有的有限元类型。
