1、第 7 章 级 数知识点 概念 性质 判别法 展开式难点 级数展开式要求 熟练掌握正项级数的收敛性的判别法交错级数的莱布尼兹判别法 理解级数的概念、性质 了解级数的收敛的必要条件 绝对收敛和条件收敛的概念 幂级数的运算性质 函数的泰勒级数 熟练求出幂级数的收敛半径和收敛域常见函数的幂级数展开式 7.1常数项级数7.1.1级数的敛散性例 讨论几何级数 的敛散性。解 若 则 1）当 时，2）当 时， 即级数发散 3）当 时， 即级数发散 4） 当 时，则因为 ， 所以 不存在。综上所述，当 时 收敛，当 时发散。7.1.2无穷级数的性质性质 1 若级数 收敛， k为任一常数，则亦收敛，且性质 2
2、设级数 和 分别收敛于 a于 b， 则级数 亦收敛。且性质 3 在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。注意 在收敛的情形下，级数的和一般会改变的。性质 4 若级数 收敛于 S， 则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。注意 级数收敛，则任意加括号后仍收敛，反之不然。如 收敛于零，但是却是发散的。性质 5（必要条件）若级数 收敛则注意 若 不趋于零，则可得出级数发散。若 ，级数 未必一定收敛。7.2数项级数收敛性判别法7.2.1正项级数及其收敛性判别法若常数项级数的每一项 均非负，则此时我们称 为正项级数。注意 正项级数 的部分和数列 一定是单调增加数列，若此时 S 有界，则 必有极限存在，这时正项级数 收敛。反之，若正项级数收敛 于 S， 则 必有界。因此我们得到 收敛 有界。S nn1.比较判别法和 均为正数级数且 则1）若 收敛，则 也收敛。2）若 发散，则 也发散。推论 1设有两个正项级数 与 ，且 其中 N为一正数，则 1）如果 收敛，则 也收敛。2）如果 发散，则 也发散。例 讨论级数 （ ）（ P级数）的敛散性。解1）当 时 由比较判别法可知 发散。2） 当 时设 为 P级数的 n项部分和，则而 为=由此有 即 有界。
