AGeneralizedExtensionoftheCayly―HamiltonTheorem.doc

1、AGeneralizedExtensionoftheCaylyHamiltonTheorem【Abstract】In this section， Our intention is to give a generalization of an extension of the Cayley-Hamilton theorem in the case of two nn matrices in the formal matrix ring Mn（R； s）. 【Key words】formal matrix ring； the Cayley-Hamilton theorem； extension；

2、integral domain. 1. Introduction The Cayley-Hamilton theorem and its extensions have many applications in con-trol systems， electric circuit and many other areas （see 3， 6）. The Cayley-Hamilton theorem has been extended to rectangular matrices， block matrices and to pairs of commuting matrices （see

3、1， 3， 2）. The classical Cayley-Hamilton theorem states that every square matrix over a com-mutative ring satis?es its own characteristic equation. Precisely， if A is an nn matrix over a commutative ring， then P（A）=0 where P （）= det（In-A） is the character-istic polynomial of A. The Cayley-Hamilton th

4、eorem has been extended to matrices over the formal matrix ring Mn（R； s） in 5. The Jacobson radical， the center， the set of zero-divisors and the group of units of a ring R are denoted by J（R） ， C（R） ， Z（R） ，and U（R） respectively. 2. Extension of the Cayley-Hamilton theorem First， we begin with some

5、 auxiliary de?nitions and lemmas. De?ne ijk=1+ik-ij-jk where ik，ij，jk are the Kronecker delta symbols. For s C（R） ， de?ne sijk=sijk for all 1 i， j， k n. Note that De?nition 2.1. （5， Def.2） Let R be a ring with sC（R） and let n 2. The set of all nn matrices over R will be denoted by Mn（R； s） ， with us

6、ual addition of matrices and with multiplication de?ne below， for any A =（aij） ， B =（bij） Mn（R； s） ， We could prove that Mn（R； s） forms a ring， and Mn（R； s） is called a formal matrix ring over R de?ned by s. For instances， in M2（R； s） ， and in M3（R； s）. De?nition 2.2. （5， p.4685） Let x be an indeter

7、minate over R and let Rx be the poly-nomial ring. Then there exists a ring homomorphism x ： Mn（Rx； x）Mn（Rx） given by （rij（x） ） （x1-ij rij（x） ）. Given A =（aij） Mn（R； s） ， there is a matrix of Mn（Rx； x） ， denoted by A，whose （i， j）-entry is aij. Then x（A） Mn（Rx）. Let adj（x（A） ） be the adjoint matrix of

8、 x（A） in Mn（Rx） and write adj（x（A） ） = （fij（x） ） . Since x is a non zero-divisor of Rx， one easily sees that there exists a unique gij（x） Rx such that fij（ x）= x1-ij gij（x）. Denote adjx（A）=（gij（x） ） Mn（Rx； x） and call it the x-adjoint matrix of A. The matrix adjs（A） ：= （gij（s） ） Mn（R； s） is called t

9、he s-adjoint matrix of A in Mn（R； s）. Lemma 2.3. （5， Prop.32） Let A， B Mn（R； s）.Then： （1）dets（A ? B）= dets（A）dets（B）. （2）A ? adjs（ A）= adjs（A） ? A = dets（A） ? In = dets（A）In. （3）A is invertible if and only if dets（A） U（R）. De?nition 2.4. （5， Def.33） We de?ne the s-characteristic polynomial of A Mn（R

10、； s） to be the characteristic polynomial of s（A） in Mn（R）. Lemma 2.5. （5， Th.34） （Cayley-Hamilton theorem） Let A Mn（R ； s）. If f（） R is the s-characteristic polynomial of A， then f（A）=0 in Mn（R； s）. Theorem 2.6. Let A， B Mn（R； s） and let PA，B（x， y）= dets（xA - yB）. If A ? B = B ? A， then PA，B（B， A）=0

11、. Proof： Note that PA，B（x， y） is a homogeneous polynomial of degree n in the two variables x and y. So we can assume that PA，B（x， y）= anxn+ an-1xyn-1 + ? + a1xyn-1+ a0yn. Let N be the s-adjoint matrix of the matrix xA - yB， that is N = adjs（xA - yB）. Clearly， N can be written in the form N= Nn-1xn-1

12、+ Nn-2xn-2y + ? + N1xyn-2+N0yn-1， where Nn-1，Nn-2 ? ，N1，N0 Mn（R； s）. Now， for any A Mn（R； s） ， we have A ? adjs（A）= dets（A）In from lemma 2.3 （2）. Thus （xA - yB） ? N = PA，B（x， y）In. Expanding the left-hand side and comparing the coe?cients of xiyj in both sides， we obtain the following n + 1 equation

13、s： Multiplying these equations to the left by Bn ， Bn-1 ? A， Bn-2 ? A2 ， ? ， An respec-tively， and using the fact that A and B commute， we obtain the following equations： Hence， the terms on the left-hand side will cancel out leaving the zero matrix. The terms on the right-hand side add up to anBn +

14、 an-1Bn-1 ? A + an-2Bn-2 ? A2 + ? + a1B ? An-1 + a0An = PA，B（B， A）=0 The theorem is established. Remark 2.7. In the above theorem， if y =1 and A = In， then we obtain the classical Cayley-Hamilton theorem over formal matrix ring Mn（R； s）. References： 1F.R Chang.and C.N.Chan，The generalized Cayley-Ham

15、ilton theorem for stan-dard pencils； System and Control Lett.，vol.18（1992） ，179-182. 2T.Kaczorek，An existence of the Cayley-Hamilton theorem for nonsquare block matrices and computation of the left and right inverses； Bull.Pol.Acad.Techn.Sci.，vol.43（1） （1995） ，49-56. 3T.Kaczorek，New extensions of th

16、e Cayley-Hamilton theorem with applications； Proceeding of the 19th European Conference on Modelling and Simulation，2005. 4I.Kaddoura and B.Mourad，A Not on a Generalization of an Extension of the Cayley-Hamilton Theorem，Intel.Math.Forum，3（17） （2008） ，829-836. 5G.Tang，Y.Zhou，A class of formal matrix rings，Linear Algebra Appl.438（12） （2013） ，4672-4688. 6L.F.Urrutia and N.Morales，The Cayley-Hamilton theorem for supermatrices，J.Phys.A：Math.Gen.，27（1994） ，1981-1997.