2013年惠州学院第四届数学建模竞赛.DOC

1、1 2013 年 惠州学院第 四 届数学建模 竞赛 论文格式规范 论文（答卷）用白色 A4 纸单面打印，上下左右各留出至少 2.5 厘米的页边距。 论文第一页 和第二页 为控制页（附录 二 ），论文题目和摘要写在论文第 三 页上。从第 四 页开始是论文正文。 论文从第 三 页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“ 1”开始连续编号。 注意，论文一律要求从左面装订。 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距

2、，打印时应尽量避免彩色打印。 提请大家注意： 摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。 阅卷组评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如 13等；引用书籍还必须指出页码。 参考文献按正文中的引用次序列出，其中： 书籍的表述方式为 编号 作者，书名， 出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为 编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上

3、资源的表述方式为 编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日） 论文模板（ 中国大学生 数学建模竞赛 2010 年 A 题论文 ） 本文只是提供一种竞赛论文写作的 大体 格式， 具体 细节内容 可视情况而定，并不一定要完完全全按照该论文的模式来写论文。 大家关注的格式应该是以下这些：摘要 关键字 问题重述与分析 对题目某些条件的合理假设及变量说明 模型建立及求解 模型的评价与推广 参考文献 附录（主要是一些程序） 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文研究 了两种形状的储油罐在罐体发生变位后，变位角度参数的识别和罐容表的标定问题，建立了比较精确的数学模型。 对于问题一，针对小椭圆形储油罐无

4、变位的情况， 通过微元分析法得到储油体积 V与油位高度 h 的函数关系表达式 （见正文 P 3）， 并作出相应的曲线图像；通过与 实际 检测数据的比 较和误差分析 ， 可知无变位情况下所建立函数模型具有很高的精度 。 在此基础上，针对纵向倾斜角度为 的变位 情况， 我们也建立了储油体积和油位高度的函数模型：根据油位高度的不同，确定边界条件，分为三种情况进行讨论，得到了储油体积和油位高度见的函数关系，该函数是一分段函数 （见附录 2、附录 3）。作出纵向倾角 01.4 时的曲线图像， 与实际数据的 散点图比较检验，通过误差分析验证所得到模型的准确性；并 计算出罐体变位后，油位高度间隔为 1cm

5、的罐容表标 定值（见表一）。 对于问题二 中的实际储油罐 ， 我们按照以下步骤建立罐内储油量与油位高度及变位参数之间的函数关系： 首先分析仅有纵向偏转时罐内储油量与油位高度的函数关系。当纵向倾斜角度为 时，根据罐内油位高度的不同，应分为三种情况进行讨论，通过几何分析的方法可得到该函数模型为 ),(1 hfV （见正文 15,14,13P ） 再分析仅有横向偏转时储油量与油位高度的函数模型。对于横向偏转角度为 的情 形 ， 通 过几 何 关 系， 易 得出 实 际 油位 高 度 h 与 测 量 油高 h 的关系式： c o s RhRh ， (h 为测量的油高， R 为圆柱体 半径 )。将 h

6、代入无偏转时储油量的计算公式中， 则 可建立横向偏转时储油量 的数学模型 ， ),(2 hfV （见正 文 15P ） 在第三步中，我们假设储油罐先横向偏转 度，再纵向偏转 度，则在以上两步的分析基础上，可求出罐内储油量 V 与油位高度 h 及变位参数 , 间的函数模型，),( hfV 。 根据建立的数学模型 ),( hfV ，我们采用穷举搜索法，计算理论值与实际检测值最小时的偏转角度，从而确定油罐的变位参数 1.20 ， 6.50 ，；然后根据公式),( 00 hfV 求出了变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。我们利用所给的实际检测数据对所建立模型进行了比较和误差分析，发现理论数

7、据与检测数据间的误差不大于 3%，表明所建立模型具有较高的准确性。 关键字 微元分析法 曲线拟合 误差限 分段函数 比较检验 2 一、 问题重述 已知加油站都有若干地下储油罐，且有与之配套的“油位计量管理系统”，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 然而储油罐在使用一段时间后，由于地基变形使罐体位置发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。因此需要定期对罐容表进行重新标定。题中给出了一系列示意图，并得出了一些实验数据和实际检测数据。 本题需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题。 （ 1） 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用

8、小椭圆型储油罐 ，分别对罐体无变位和倾斜角为 1.4 的纵向变位 两种情况做了实验，得出实验数据 。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 cm1 的罐容表标定值。 （ 2）对于 实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。 利用罐体变位后在进 /出油过程中的实际检测数据 ， 根据 所建立的数学模型 确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 cm10 的罐容表标定值。 进一步利用 实际检测数据来 分析检验 模型的正确性与方法的可靠性。 二、 问题分析 要解决储油罐变位

9、识别与罐容表标定问题，那么就需确定罐内油位高度与储油量的对应关系。第一问由于只有纵向倾斜，因此需要通过积分来分别求无变位和纵向变位后的油位高度与储油量的关系（ hfV ， ,hfV ），最后通过对模型的求解来标定罐容表。而实际上，储油罐并不是 如第一问那样简单的椭圆柱体，而且对于第二问不仅要考虑纵向倾斜，同时还要横向倾斜，因此我们要求出体积与油位高度的关系 hfV , ，必须要先确定 , 。再对模型求解，标定罐容表。 三、问题假设 （ 1）假设储油罐是理想的，规则的罐体。不考虑物理形变，温度或其他因素导致的罐体形状不规则或储油体积的变化。 （ 2）假设油位探针、注油口、出油管等伸进油罐内的部分

10、忽略不计。 （ 3）对于油罐左右倾斜求解方法相同，只因为油浮子位置导致计算结果有所改变，我们假设油罐按图中方位倾斜。 （ 4）假设图中标注的度量均不考虑油罐的厚度。 四、模型的建立及求解 符号规定： ：纵向倾斜角度 ：横向倾斜角度 h ：罐体左端液面高 a ：椭圆长半轴 b ：椭圆短半轴 V ：储油量 h ：对微元积分的微元高度 S ：储油横截面面积 3 模型一： 研究罐体变位后对罐容表的影响，因此我们考虑先未变位时理论油位高度 1h 与储油量 V 之间的关系，建立相应的数学模型。 设横截面椭圆的方程为： 12222 byax （ 1） 先讨论无变位模型： 椭圆弓形的高为 h ，图中带阴影部分

11、为储油横截面，先用定积分求储油体积。 设椭圆弓形的面积为 )(hS ，则： abb bhb bhb bhdyybbahS bhb a r c s i n122 222 油罐的长为 L ,储油的体积为 )(hV ，可得： a b Lb bhb bhb bhhV a r c s i n12 2 已求出储油量和油位高度的关系，用 MATLAB,对 )(hV 的关系式作图，与实验数据作 图进行比较（程序见附录 1），得下图。 4 图 1： 无变位进油量的数据图 （ 红色的为曲线图，蓝色的为实际数据散点图） 图 2： 无变位出油量的数据图 （ 红色的为曲线图 ， 蓝色的为实际数据散点图 ） 由图发现，未

12、变位情况下，理论模型与实验数据几乎吻合，因此模型可用。 现在讨论变位后的模型。 因为当油罐纵向偏转 角后，需分三种情况讨论。 5 1） 当油面到底面的投影 mL 45.2 时， 如图： 对每一个椭圆部分面积微元在 L 上进行积分，求体积 dxhSxV L 01； abb bhb bhb bhdyybbahS bhb 222 a r c s i n122 dxabbbhbbhbbhxV L 021 a r c s i n12 hL xLh tanhL 进行变量代换 bbht ， 则 b bxht tan ， dtbdx tan 积分变为： dttttabxV bh 11 231 a r c s

13、in12t a n 再用 MATLAB求积分，由于积分结果较复杂，所以将计算结果及方法置于附录 2。 2） 当油面将底面全都覆盖，又不到达顶面时（如图），及 2.1tan45.2 h （单位为 m ）的时候： 椭圆的面积 6 b bhb bhb bhhs a r c s in12 2 xxhh tan 则是 45.202 ta n dxxxhSxV令 t a n,t a n b d xdxb bxhy 积分变为： xV2 dxxxxab bhb bh 1 t a n45.2 22 a r c s in12t a n 再用 MATLAB求积分（计算结果及方法同上见附录 3）。 3） 当油面开始慢

14、慢覆盖顶面，即倾斜时高端液面高 h 恒定为 1.2m 时（如图）： dxabb bhb bhb bhabdxhSVxV LL 0203 a r c s i n1245.42 总同 1) hL xLh tanhL 设 bbht 进行变量代换得积分 dttttabxV bh 11 231 a r c s in12t a n MATLAB 求积分同 1） （计算结果及方法见附录 2） xVabxV13 445.2 m176.01.4ta n45.2 而实验数据是从 0.159m 开始进油，而从第二个数据开始，就完全进入油面将底 面全都覆盖的情况，即讨论的第二种情况，因此，我们将建立的第二种情况的模型

15、，与实际数据作图。 7 为了使作图简单，我们将油位高度 h 全转化成用倾斜时高端液面高 h 来表示 油位高度 tan4.0 hh （ 1.4 ）用 MATLAB得到两种曲线的图如下（作图方法见附录 3）（横坐标 h 为倾斜时高端液面油位高度）： 图 3： 有变位进油量的数据图 （ 红色的为曲线图，蓝色的为实际数据散点图 ） 图 4：有变位出油量的数据图 （ 红色的为曲线图，蓝色的为实际数据散点图 ） 8 分析图像发现，模型做出来的曲线图与实际数据散点图几乎完全拟合。同时我们求临界点的数据，对于 1）， 2）模型分别用求临界点 mL 45.2 时的体积， 得 31 152027.0 mV ， 3

16、2 152068.0 mV 00027.0212 V VV 对于 2）中曲线数据与散点数据用 MATLAB（算法见附录 4）求得 误差的最大值 0519.0m a x11 V VV 误差的最小值 0156.0m in11 V VV 对于 2） 3）的临界点 mh 2.1 代入模型求得临界点 32 9589.3 mV 33 9588.3 mV 0 0 0 0 2 5 2 6.0323 V VV 综上所述 误差范围都在最大误差 0.0519 内，因此，通过数据检验，模 型正确。 最后，我们将三种情况的数学模型用 MATLAB 作图，将三段连接，得下图： 油标高度与储油量关系曲线-5000500100015002000250030003500400045000 20 40 60 80 100 120 140油标高度/cm储油量/L即为倾斜变位后油标高度与储油量的关系曲线。 现根据所建模型 用 MATLAB(计算方法见附录 5) 得出从油位高度为 0开始 每隔 1cm 的罐体变位后罐容表的标定值，如下表： 9 表一 ：灌容表标定值