1、第第 3 节节模糊综合评判模型模糊综合评判模型五、应用模糊数学方法分析 2000年数学建模 A题二、 模糊综合评判中几种数学模型的实质一、 模糊综合评判的数学模型三、 多层次模糊综合评判四、模糊数学模型应用在现实生活中，常常需要对某些事物进行评价。根据我们的经验知，不论对什么事物进行评价，若只考虑一个因素，而且又有明确的衡量标准，则问题很容易解决。比如若只比较 A、 B两人的大小，则只需要比较两人的年龄即可。但要考虑多个因素，而且有些因素的评价标准又不那么确切，只是一个模糊概念，比如 A、 B两人谁更优秀？这时评价问题就变得非常复杂。为了对这种情况进行评价，汪培庄在 20世纪 80年代初提出了
2、综合评判模型。此模型以它简单实用的特点，迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面。 经典的综合评判决策在实际的工作中，对一个事物的评价，常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据多个因素对事物做出综合评价，而不能只从某一因素的情况去评价事物，这就是综合评价经典综合评判方法（ 1）评总分法 （ 2）加权评分法 一、 模糊综合评判的数学模型设评价时所着眼的 m个因素的集合为 ， n个评语的集合为 。根据具体情况，评语集合一般可取为 。当然评语集合 V可有不同的选取。若用 表示第 i个因素对第 j种评语的隶属度，则因素论域与评语论域之间的模糊关系可用评价矩阵 来表示。其中 在全面评价一个对象时，要着
3、眼于所有的 m个因素。但作出最后结论时，这些因素的参考价值是不同的。比如在评价某公司提供的一幅电子地图的优劣时，不同用图部门的着重点是不同的。对于工程部门，由于主要用于工程设计，对图的精度要求比较高，而对图的视角效果要相对较低。而对于艺术家而言，则对图的视角效果要求较高，而根本不考虑位置精度。因此，在进行评价前，应考虑评价者对各种因素的重视程度。评价者对各种因素的重视程度，即各因素的权，可以看成是因素集 U的模糊子集，记为： 并且把 A与 R的合成 B看作评价者综合各种因素后对被评对象作出的最终评价，即模糊综合评判。于是，模糊综合评判的数学模型为： 或 式中： “ ” 表示模糊运算符。对此运算
4、符的定义不同，则对应不同的模糊综合评判模型。陈永义等（ 1983）采用特殊符号，给出的上式在广义模糊运算下 B的各元素的计算式为：（ 1）（ 1）式是模糊综合评判的一般模型，记为 。王光远（ 1984）根据对运算符 “ ” 的不同定义，总结出了四种不同的模糊综合评判模型。这四种模糊综合评判模型分别为：模型 I 此模型就是用 取代 ，用 取代 。此时，（ 1）式变为：（ 2）例 为了综合评价某公园的噪声，将该公园的四个功能区：休闲、观赏、餐饮和通道作为因素集合：而将游客对噪声的主观感受：烦恼、较烦恼、有点烦恼、不大烦恼和毫不烦恼作为评语集合：又通过向游客发卷调查的方式得到因素论域 U与评语论域
5、V之间的模糊关系矩阵为： 设各功能区的权为： 。试用模糊综合评判模型 I对该公园的环境作出评价。解： 根据（ 2）式，可得：根据极大隶属度原则，对该公园的综合评价为 “ 毫不烦恼 ” 。所谓极大隶属度原则，就是取隶属度最大的那个作为最终评价结果。比如此例中，最大隶属度为，而对应评语集中的。为评语 “ 毫不烦恼 ” ，所以根据极大隶属度原则，对该公园的综合评价为 “ 毫不烦恼 ” 。 由于评语集 B具有模糊性，所以由评语集 B根据极大隶属度原则得出的评价结果较粗。因此，有学者建议对评语进行定量化处理。对评语进行定量化处理可采用对各个评语实行百分制记分的办法，比如记：（烦恼）、 （比较烦恼）、 （有点烦恼）、 （不大烦恼）、 （毫不烦恼）。这样就得到一个关于评语的分数向量：=（ 55， 65， 75， 85， 95）有了分数向量后再计算得分： 于是：对评语进行定量化处理后，该公园的得分为 75。 59。故该公园只能评为三级 “ 有点烦恼 ” 。如此对评语进行定量化处理后，就可清楚地看出仅按极大隶属度原则得出的结论太粗，是不准确的。模型 II 此模型就是用 取代 ，用 取代 。此 时 ，（ 1）式 变为 ：（ 3） 式中： “ ” 表示普通的 实 数乘法。于是，（ 3）式 还 可写 为 ：
