1、第二章线性系统的运动分析 建立了系统的数学描述之后 ,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题 ,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质 ,如 能控性 能观性 稳定性 本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题 ,即状态空间模型 -状态方程和输出方程的求解问题。 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组 ,通常是很容易的。 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。 状态转移矩阵的引入 ,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。 本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、
2、性质和计算方法 ,并在此基础上导出状态方程的求解公式。本 章 简 介 本章讨论线性系统的运动分析。 主要介绍 连续系统与离散系统的状态空间模型的求解 状态转移矩阵的性质和计算 连续系统状态方程的离散化p 线性定常系统的运动线性定常系统的运动1）、自由运动）、自由运动 ：线性定常系统在没有控制作用，即 u 0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：齐次状态方程的解：2）、强迫运动：）、强迫运动： 线性定常系统在控制 u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：2.1 线性定常连续时间系统的运动分析2.1 线性定常连续时间系统的运动分析 线性系统的运动可分解
3、为以下两个响应的叠加 系统的零输入响应 系统的零初态响应ux0响应 u=0x0ux0=0零输入响应 零状态响应线性系统的运动分解 下面 ,将依次分别讨论 : 齐次状态方程的解 线性定常连续系统的状态转移矩阵 线性定常连续系统非齐次状态方程的解2.1.1 线性定常齐次状态方程的解n 齐次状态方程，即为下列不考虑输入的 自治方程x=Ax 在满足初始状态的解 ,也就是由初始时刻 t0的初始状态 x(t0)所引起的无输入强迫项 (无外力 )时的 自由运动 。n 对上述齐次状态方程 ,常用的常微分方程求解方法有 级数展开法拉氏变换法 1. 级数展开法 在求解齐次状态方程式之前 ,首先观察标量常微分方程在初始时刻 t0=0的解。 该方程中 x(t)为标量变量 ,a为常数。 由常微分方程理论知 ,该方程的解连续可微。 因此 ,该解经泰勒展开可表征为无穷级数 ,即有式中 ,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。 将所设解代入该微分方程 ,可得 如果所设解是方程的真实解 ,则对任意 t,上式均成立。 因此 ,使 t有相同幂次项的各项系数相等 ,即可求得 令 x(t)的解表达式中 t=0,可确定q0=x(0) 因此 , x(t)的解表达式可写为
