概率论作业习题.doc

1、概 率 论 作 业1写出下列随机试验的样本空 间：(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；(2)在单位圆内任取一点，记录它的坐标；(3)一射手射击，直到 击中目标为止，观察射击情况。(4)把 A，B 两个球随机地放到 3 个盒子中去，观察球的分布情况（假设每个盒子可容纳球的个数不限）。2一工人生产了四件产品，以 iA表示他生产的第 i 件产品是正品 )4,321i(，试用 iA表示)4,31i(下列事件：(1)没有一件产品是次品； (2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件产品是次品； (4)至少有两件产品不是次品。3对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件 A=第一次击中飞机

2、 ，B=第二次击中飞机C=恰有一弹击中飞机，D=至少有一弹击中飞机，E=两弹都击中飞机。(1)试用事件 A，B，表示事件 C，D，E。(2)C 与 E 是互逆事件 吗？为什么？4从一批产品中任意抽取 5 件 样品进行质量检查。 记事件 iA表示“ 发现 i 件次品”),210i(，试用 i来表示下列事件：（1）发现 2 件或 3 件次品；（2）最多发现 2 件次品；（3）至少发现 1 件次品。5把事件 与 分 别写成互不相容事件和的形式。6指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？（1） BA；（2） CBA)(；（3） )(；（4）若 BA，则 ；（5）若且 C，则 。7.设 x0|S， 1|x，

3、 x2|。具体写出下列各事件：（1） ； （2） ； （3） （4）8一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为 1、2、10 的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号 码为 5 的概率， （2）最大号 码为 5 的概率， （3）一个号码为 5，另外两个号码一个大于 5，一个小于 5 的概率。9在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品.任取 200 个，求（1）恰好有 90 个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。10将一枚骰子重复掷 n 次，试求掷出的最大点数为 5 的概率。 11从 5 双不同的鞋中任取 4 只，求 这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双的

4、概率。12将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率。 13把长为 l的棒任意折成 3 段,求此三段能构成一个三角形的概率。14在矩形 121:),(bab中任取一点,求使方程 0bax的解大于 的概率.415设事件 A 与 B 同时发生时 ，事件 C 必发生，则正确的结论是_（1） )(P)C( （2） 1)B(PA)(（3） （4） 16设 31)A(P， 2B。在下列三种情况下求 )AB(P的值：（1） ； （2） ； （3） 8117设 A、B 为两个事件且 P(A)=0.6，P(B)=0.7.问（1）在什么条件下 P(AB)取最大值，最大值

5、是多少？（2）在什么条件下 P(AB)取最小值，最小值是多少？18设 A1、A2 为两个事件，证 明（1）P(A1A2)= 1-P( 1)-P( 2A)+P( 12)（2）1-P( A)-P( 2) P(A1A2) P(A1A2) P(A1) +P(A2)19设 A、B 为两个事件，P(B)=0.5， P(A-B)=0.3。求 P( BA).20A、B 为两个事件且 P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明 P(AB)=P( ).。21.已知 ,5.0)(,4.)(,3.0)(BAPP求 )|(22.设 A，B 是两个事件， 61)|3，求 |BAP23. 掷 3 颗骰子，若已知出现 的点数没

6、有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。24袋中有 3 个白球和一个红 球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第 3 次摸球时摸到红球的概率？25设有甲乙两袋，甲袋中装有 3 只白球、2 只红球，乙袋中装有 2 只白球、3 只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？26袋中装有 5 枚正品硬币、3 枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷 3 次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？27有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为 0.2,

7、0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。28盒中有 10 个合格品，3 个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验( 取后不再放回)，以 X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求 X 的分布律，并求概率 3P。29袋中装有编上号码 1,2,9 的九个性质相同的球，从袋中任取 5 个球，以 X 表示所取的5 个球中偶数号球的个数，求 X 的分布律，并求其中至少有两个偶数号球的概率。30射手对目标独立射击 5 发 ,单发命中概率为 0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中 3发的概率;(3)至少命中一发的概率.31从仲恺农业工程学院到火 车

8、站途中有六个路口，假 设在各路口遇到 红灯的事件相互独立，且概率都是 ，（1）以 X 表示途中遇到的红灯次数，求 X 的分布律， （2）以 Y 表示汽车行驶途3中在停止前所通过的路口数，求 Y 的分布律。 （3）求从仲恺农业工程学院到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。32假设某汽车站在任何长为 t（分）的时间内到达的候车人数 N（t）服从参数为 3t 的泊松分布。 （1）求在相邻两分钟内至少来 3 名乘客的概率；（3）求在 连续 5 分钟内无乘客到达的概率。33某种疾病的发病率为 0.01,求下列概率的近似值。 (1)100 个人中恰有一人发病的概率为多少？ (2) 100 个人中至少有一人发

9、病的概率为多少？34设随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，已知 kXP正比于 k 值，求 X 的分布律及分布函数，并求 3,3XP。35设离散型随机变量 X 的分布函数为64821)(xBAF（1）求参数 A，B（2）求 X 的分布律。36设连续型随机变量 X 的分布函数为0)(xeA，其中 是常数。求（1）参数 A，B，（2） 3,P（3）X 的概率密度37设随机变量 X 的概率密度为othersCxf021)(，（1）确定常数 C ，并求。X 的分布函数；（2）求 0x使 5.。 38设 X 均匀分布于区间-2 ，5，求方程 0242Xu有实根的概率。39.已知的概率密度为 其

10、 它01)()xAxf,求：(1) 求常数; (2) .5P(3)求 F(x)40某甲上班地点离家仅一站路 .他在公共汽车站候车时间为 （分钟），服指数分布.其概率密度为 041)(xexf.甲每天要在车站候车 4 次，每次若候车时间超过 5 分钟，他就改为步行.求甲在一天内步行次数恰好是 2 次的概率41设服从 ),(2aN分布，求:(1) |XP.(2) |aXP.(3) 3|aXP.42. 设 XN(0,1).求 b使：（1）P|X|b=0.05. (3)PX249.二维随机变量(X,Y)的分布函数为其 它byxaFy1,)(),(，(1)求参数 a,b ;(2)求 10,21YXP50

11、设随机向量（X,Y）在区域 20,);(yxyD上服从均匀分布,求 X 与 Y 至少有一个小于 的概率.251.二维随机变量(X,Y)服从分布函数: 其 它01,1|0)(37(2,), 42yxyxyxF（1）求 ),(YX的边缘分布函数， （2）求 X 的概率密度52设随机变量（X,Y）具有下列概率密度(1) othersxycxyf0,1),(，(2) 其 它02,13),(2yxyf(3)其 它 |,),(f, (4) otherscyf),(2分别求其中的未知参数 c,并求关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度。53若二维随机变量 ),(Y分别服从第 52 题中的概率密度，判断 X 与

12、 Y 的独立性.54设 X 服从参数 1的指数分布， Y 服从参数 2的指数分布，且 X 与 Y 独立，求.2YP55X1,X2 相互独立，且 ,10,ixepii ， 2,10ipi求：(1) 4,21；(2) 21XP；（3） 与 2的联合分布函数。56设随机变量 X 与 Y 独立，下表列出了(X,Y)的分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中的空白 处。X Y y1 y2 y3 pi.=pX=xix1 81x2p. j=pY=yj 61157.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 1.2“的概率为多少？58已知 X 的概率分布为 412

13、0kP，分 别求 )cos(,23XZY的概率分布59已知 X 的概率密度为 其 它083)(xxf,求 Y=X2+1 的分布函数和概率密度.60已知 X 的概率密度为 1|5)(2xf,设 2XY, XeZ,求 Y 与 Z 的概率密度.61设电压 sinAV,其中 A 是一个已知的正常数，相角 是一个随机变量，在区间（0，）上服从均匀分布，试求电压 V 的概率密度.62随机变量 X 与 Y 的联合概率密度为 其 它,),(43yxeyxf, 分别求(1) Z (2) ,ma(XM (3) ,inYXN 的概率密度 .63设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 服

14、从参数为 1 的指数分布， 试求：(1)Z=X+Y 的概率密度. (2) ),ax(的概率密度. (3) ),in(N的概率密度. (4)U2的概率密度.64设随机变量 X 与 Y 独立，且均服从参数为 p的两点分布，即pPp10,1.分别求随机变量 YX, ),max(V的分布律.并求 U 与V 的联合分布律.65某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次。每次随机地取 10 件产品进行检验，如发现其中的次品数多于 1，就去 调整设备。以 X 表示一天中调整设备的次数， 试求 )X(E。（设诸产品是否为次品是相互独立的。 ）66设二维随机变量 )Y,X(的概率密度函数 为 0112),

15、(xyyf,求).E),(E, 267设随机变量 21,的概率密度分别为,021exfx,0,42xef用数学期望性质求（1） ),(X )3(21;（2）又设 21,X相互独立，求 )(21XE。68一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为 0.2，0.3，0.4 ，且相互独立， 试用两种方法求发生故障的元件数 X 的数学期望。 （写出 X 的分布律及不写出 X 的分布律的两种情况下。 ）69设随机变量 X具有密度函数： 其 他0212)(xxf求 DXE,。70(1)设 1/32/031，求 )5(3XE， )(3。（2）设 )4,(U，求： ，D , cos， 。（3）设 X服从均

16、值为 3 的指数分布，求： E，D； )(2|)(|P； 2Xe， 2。71(1)设 X 为 n次独立实验中事件 A出现的次数，在第 i次实验中时间 A出现的概率为ip,.21,，求 。（2）设 服从参数为 2 的 Poisson 分布，求随机 变量 23Z的期望与方差。（3）对某一目标进行射击，直到 击中目标为止，若每次射 击 命中率为 p，求射击次数的期望与方差。（4）设 X服从二项分布，且 4.)(XE， .1)(D，求二 项分布的参数 n,的值。72用切比雪夫不等式证明：能以大于的概率相信，掷 1000 次均匀硬币时，正面出现的次数在 400 到 600 之间。73设二元随机变量 ),

17、(Y有密度函数： 其 他010,2),(yxyxf求相关系数 XY。74已知随机变量 与 的相关系数 为 ，求 ba1与 dc1的相关系数，其中dcba,均为常数, 0ac.75已知 ),(YX服从二维正态 分布，若 )3,(2NX， )4,0(2Y，且1XY，23Z。（1）求 ZE， )(D；（2）求 Z；（3） 与 是否相互独立？为什么？76设 n,独立，它们的均值都为 0，方差都 为，记 ni1，求 i与Xj的相关系数， ji。（）设 4321,独立服从（，）均匀分布，求：541kXD（）已知随机变量 Y的方差分 别为 25 和 36，相关系数为 0.4，求： YU23与XV的方差及协方

18、差。77设 n,21的均值都是 a，均方差都是 ，任何两个的相关系数都是 ，niW1，求 )(WDE和 。78设两个随机变量 YX,相互独立，且都服从均值为 0，方差为 21的正态分布，求随机变量YX的期望。79设 )4,1(N， )9,(，且它们相互独立，试求 YXZ3,21的相关系数。80设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，其密度函数为 othersxxf0)(，求其各阶矩 ,43),(nE。81 2N，Y服从参数为 的泊松分布， 则（ ）)1()()() 222 21YEDXECXBA82某电视机厂每月生产 10000 台电视机，但它的 显像管车间 的正品率为 0.8，为了以 0.9

19、97的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管， 该车间每月 应生产多少只显像管？83某保险公司多年的统计资 料表明，在索 赔户中被盗索赔户 占 20，以 X 表示在随意抽查的近 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （1）写出 X 的分布律；（2）利用拉普拉斯定理，求被盗索赔户不小于 14 户且不多于 30 户的概率。84从一大批发芽率为 0.9 的种子中随机抽取 1000 粒,试求 这 1000 粒种子的发芽率与 0.9 之差的绝对值小于 0.02 的概率.85设 1021,X 是独立同分布的随机变量,其共同分布为区间(0,1)上的均匀分布,求 ?)6(P86设 ,(2N, 未知,

20、且 2已知, nX,1 为取自此总体的一个样本,指出下列各式中哪些是统计量,哪些不是,为什么?(1) nX21 (2) 1n (3) (4)niiX12)(87设 , 是来自具有 )(2m分布的总体的样本.求样本均值 的期望与方差.88设总体 , 61X 是它的一个样本, 61iZ,(1)写出 Z 的概率密度; (2)求09NP(Z11).89设从总体 ),(2X中抽取容量 为 18 的样本, ,2 未知 ,(1)求 P(S2/21.2052),其中 1)(22nSi.,(2) 求 D(S2).90设 )(),10(2YNX,X 与 Y 相互独立,又 nYXt,证明 ),1(2nFt.91设总

21、体 8，从总体中抽取一个容量为 100 的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少？92. 设总体 ,从此总体中取一个容量为 6 的样本( 61,X ),设01XN2654231 )()(XY,试决定常数 c,使得随机变量 cY 服从2分布.93. 总 体 ,独立, )5(,Y,各从中抽取容量 为 5 的样本, Y,分别样本均值,求 0的概率.94设总体 服从参数 为 N和 p的二项分布， nX,21 为取自 的样本， 试求参数 N和p的矩估计量与极大似然估计量.95设总体 X具有概率密度 为 其 它,0,);()(1cxcxf其中参数 10，c为已知常数，且 0c.从中抽

22、取一个样本 n,21 ，求 的矩估计.96设总体 X具有概率密度 othersxxf03)(, nX,21 为一样本,未知参数0,求 的矩估计量.97设总体 具有概率密度 为 0,);(1xexf,其中 是未知参数，0是已知常数，试根据来自 总体 X的简单随机样本 )(21nX ，求 的极大似然估计.98设总体 X服从几何分布,0,)1()( pkpkP试利用样本 nx,21 求参数 的极大似然估计.99. 设总体2,),(NX为未知参数, nX,21 为一样本,求参数3的极大似然估计量.100设 n,21 是来自参数为 的泊松分布的样本,试证对任意常数 k,统计量)(Sk是 的无偏估计 量.

23、101设总体 ),(2NX, nX,21 为一样本,niiiXc122)(,求参数 c,使2为 的无偏估计.102设总体 ),(2, 已知, 为未知参数, n,21 为一样本,niiXc1|, 求参数 c,使为 的无偏估计.103设 是参数 的无偏估计 量,且有 0)(D,试证2)(不是 的无偏估计量.104设总体 ),(2N, 321X是来自 的样本,试证：估计量32105X; 3254; 3216X都是 的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.105已知总体 的数学期望 )(XE,试证：统计量nii12)(是总体方差 2的无偏估计.106设 ),(21nX 是取自均匀分布 ),0(U的总体 X的一个样本.试证maxini是 的一致估计.