概率论第三章题库.doc

1、第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1、 （易）设任意二维随机变量（X，Y）的两个边缘概率密度函数分别为 fX(x)和 fY(y)，则以下结论正确的是（ ） A. B.1)(dxfX 21)(dxyfYC. D.0f 0f2、 （易）设二维随机变量 ,则 X（ ） 21(,)(,)XYNA. B. 21(,)N 21(,C. D. 2, 2,)3、 （易）设二维随机变量(X， Y)服从区域 D：x 2+y21上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度为（ ）A. f(x， y)=1 B. 1(,)0,xyDfxy， （ ） ,其 他C. f(x，y)= D. 1(,),f， （ ） ,其 他4、

2、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. . .A1,0.8,(,)xyFy其 他 B.,0,0,),( 其 他 yxdsteyxFx. .Cyxtsdex),( D., ,),(其 他 yxeyxy5、 （易）设二维随机变量(X， Y)的概率密度为 f (x，y )= ,0;2041其 他则 P00 时, X 的边缘分布函数 FX(x)=_.14、 （易）已知当 0x 1,0 y 1 时，二维随机变量(X,Y）的分布函数 F(x,y) = ，记2（x,y）的概率密度为 f(x,y) ，则 f( ）=_.148，15、 （中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为则 _.2,1YXP16

3、、 （易）设二维随机变量(X，Y )的概率密度 f (x,y)= 则 PX+Y1，yx他,0,1,1=_.17、 （中等）设随机变量 X 的分布律为 ，且 Y=X2，记随机变量 Y 的分布函数为 FY（y） ，则 FY（3）=_.18、 （易）设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们的分布律分别为， ，则 _.1YXP19、 （易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX1 2 30 0.2 0.1 0.151 0.3 0.15 0.1YX0 5X -1 0 1 2P 81367X -1 0 1P 325Y -1 0P 413则 PXY=0=_.三、计算题20、 （中等）.袋中有五个号码 1，2，

4、3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为 Y.（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） 求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（3） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 （1） X 与 Y 的联合分布律如下表3 4 5 iPXx1 351C0352C10351062 0 3535233 0 0 251C01iPYy103106(2) 因 61,3,XPYPXYA故 X 与 Y 不独立21、 （中等）某高校学生会有 8 名委员，其中来自理科的 2 名，来自工科和文科的各 3 名，现从 8 名委员中随机指定 3 名担任学生会主席，设 X，Y 分别为主席来自理科、工

5、科的人0 41612 34YX数，求：（1） （X,Y）的联合分布律；（2）X,Y 的边缘分布.P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56 P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56 P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56

6、 P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 X 边缘分布Y Y Y Y P(X=i)0 1 2 3 X 0 1/56 9/56 9/56 1/56 5/14X 1 3/28 9/28 3/28 0 15/28X 2 3/56 3/56 0 0 3/28Y 边缘分布 P(Y=j) 5/28 15/28 15/56 1/56 1 22、 （中等）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）常数 c;f(x,y)dxdy= cxydxdy=cxdxydy=c(1/2*x2|从 0 到 2)(1

7、/2*y2|从 0 到 1)=c(1/2*22-0)(1/2*12-0).,0;20,),(其 他 yxcyxf=c*2*1/2=c并且f(x,y)dxdy=1所以 c=1（2）求（X，Y）分别关于 X，Y 的边缘密度 );(,yfxYX（3）判定 X 与 Y 的独立性，并说明理由；（4）求 P . 1,23、 （较难）设随机变量 的分布函数为，(,)XY(,)(arctn)(arctn)23xyFxyABC试求：（1）常数 A、B、C（2）试问 X 与 Y 是否独立？（3）求 X 与 Y 的联合概率密度函数 F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-,-)=A

8、(B-/2)(C- /2)=0F(-,+ )=A(B-/2)(C+/2)=0F(+,- )=A(B+/2)(C-/2)=0F(+,+)=A(B+/2)(C+ /2)=1解得：A=1/2,B=/2,C=/2F(+,y)=1/2+1/*arctan （y/3)F(x,+)=1/2+1/*arctan （x/2)F(x,y)=F(+,y)F(x,+)X 和 Y 相互独立.(X,Y)的联合概率密度：6/(11)(/2+arctan x/2)(/2+arctan Y/3) 24、 （中等）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY602,4,0kxyxyfxy求： （1）常数 k；（2） 关于 X,Y 的边

9、缘概率密度 ；(,) (),XYfxy（3） . 4P【解】 （1） 由性质有 240(,)d(6)d81,fxykxyk故 8R(3) 24(,)d(,)dXYDPfxyfxy如 图 b201(6).83x题 5 图其他25、(中等）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY2360,0xyeyfxy求： （1） 关于 X,Y 的边缘概率密度 ；(,) (),XYfx（2）判断随机变量 X 与 Y 是否独立？ 26、 （中等）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在0，4 上服从均匀分布，Y 的概率密度为 fY（ y）= 求 X 和 Y 的联合概率密度 . .,0,021/他ye (,)fxy其他【解】 （1） 因 1,0,()Xxfx其 他 ; 21e,()0yYf其 他 .故/2e1,(,)()0,.yXYxyfxyfA独 立 其 他题 14 图