概率论速成版分章习题.doc

1、第一章 基本概念1,设 是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是123,A1。2，设 是 n个事件，则：(德摩根公式 )123,( =1)=1,( =1)=13， 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求三人中至少有一个人能将此密码译出的概率。解：设事件 A、B、C 分别为三人破解密码，三人中至少有一个人能破解的逆事件为三人中无人能 破解，则 P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4，且互相独立。()1()()3/5PPBC4， 将 3封信任意投到四个信箱中去，求下列事件的概率（1）只有两个信箱有信的概率。 （2）一个信箱最多只有 1

2、封信的概率 （3）前两个信箱没有信的概率。解：把 3封信投到 4个信箱中一共有 34种做法（1）即选两个信箱投信，且每个信箱都有信，则：234/9/16PC（2）即选 3个信箱进行全排列，则：34/8（3）即把信投在后两个信箱中或任意一个，则：21332()/83、5 盒子中有 10个小球，其中 6个黑色的，4 个白色的，先后从中各取一球（不放回） ，已知第二次取出的是黑球，求第一次取到白球的概率。解：设“第一次取到白球”为事件 A， “第二次取到黑球”为事件 B，则 P(A) = 2/5；P(B) = ，1116546903()/5CC，14620()PAB， 所以 P(A|B) = 4/9

3、第二章 随机变量及其分布1，设离散型随机变量 的概率分布为 ，其分布函数为X012.53.Xp，则 0.8。()Fx(1.8)2，设离散型随机变量 X的分布函数为 F(x),则 =F(b)-F(a-0).()PaXb连续型：F(b)-F(a)3， 某电子元件的寿命 （小时）服从参数为 100的指数分布，求：（1）元件寿命至少在 200小时的概率 （2）将 3只这种元件连接成为一个系统，且至少 2只元件失效时系统失效，又设 3只元件工作相互独立，求系统的寿命至少为 200小时的概率。解：02()20121()PXPXxde(2)设 Y为 3只元件的寿命至少为 200小时的个数，则 (3,)Yb:

4、，所以222346()()1)(2Ceee4， 已知离散型随机变量 的概率分布为 ，求 的分布函数。01.3.5p0,();10.2;2,()10.5;() 21.0,.21()5,1xFxPPxFx5， 设随机变量 的分布函数 ，则1.X()cotFABarxlimcot0,licot()1()01,xxararxFABAB6， 已知在正常情况下，学生的考试成绩服从正态分布，如果已知 ，70，求某学生考试成绩在 60到 80分之间的概率。21解：6078074408(2.5)(.).986PXPX7，已知 ，则 P（-0.510 其他 求：（1） Z=X+Y的概率密度；（2） Z=X/Y的概

5、率密度；（3） Z=XY的概率密度；（4） Z=maxX,Y的概率密度；（5） Z=minX,Y的概率密度。第四章 随机变量的数字特征1，某人射击一次，击中的概率是 ，则 5次射击中平均击中次数为 _4_ 。0.82用人工织布机所织布批上的平均疵点数（满足泊松分布）为 2，则这种布批上疵点数的概率分布为2,0,1.!kPXe。3，设随机变量 、 相互独立， ，则 (0,1)XN:(2,4)Y:3ZXYZ:N（5，5）.4，共 10件产品，其中 6件正品，从中一次任取 3件 ，求（1）3 件中的次品数的概率分布 （2）3 件中的次品数的数学期望 （3）3 件中的次品数的方差。解：以题得，有 4件

6、次品,从中任取 3件有 102C种（1）设 X表示 3件中的次品数，则 X=0，1，2，3，所以：60/12/PC，164/PX，40，3201/X 0 1 2 3P 1/6 1/2 3/10 1/30（2）E(X)=01/611/2 23/1031/30=6/5（3）D(X)=14/255，已知连续型随机变量 的概率密度为 ，求 的数学期望201()x其 它 及方差。解：22112/3,()1/21/800ExdExdD:6，已知 是三个独立的随机变量，且 （ ） ，123, ,iii,3，求 ， 。46D7，设二维随机变量（X,Y）的概率密度为(， )= 1 2+210 其他 试证明 X,

7、Y是不相关的，但不是相互独立的。8,记住 E（X） ，D(X),Cov(X,Y),xy 的线性性质9，记住 n维正态分布的性质第五章 大数定理及中心极限定理1，一箱饮料 100瓶，饮料的平均重量是 ，标准差是 ，求一箱饮料重0.5kg0.1kg量不超过 的概率。52kg解：设 ix表示第 i 瓶饮料的重量，10iiXx， 0.5,.01iiEDx依题得：EX=1000.5=50，DX=1000.01=150252(2)0.971XP2，已知 ，求 ， 。(,.)B(3)P13解：003702120, .28.083!npCe ,(1)40302(03(.5)(2.)0.98764XPp3，哈尔

8、滨工业大学（威海）十公寓有 200个学生宿舍，一宿舍拥有自行车辆数X的分布律为X 0 1 20.5 0.4 0.1问需要安排多少车位才能使每辆自行车都有一个车位的概率至少为 0.95？第六章 样本及抽样分布1，设 服从分布1， 2， 3是来自 总 体 (0,1)的 样 本 ， 则统计 量 =12+22+32+2_;若 X,Z相互独立，且 Z服从与 Y相同类型且自由度为 n的分布，则随机变量 服从分布_.若随机变量 U,V均服从= /与 Y相同类型的分布，且自由度分别为 ,则随机变量 F= 服从分布1,2/1/2_.2，记住定理二三四3，在总体 N（52,6.3 2）中随机抽签一个样本容量为 3

9、6的样本，求样本均值落在区间（50.8,53.8）之间的概率。4，在总体 N（20,3）中随机抽签两个样本容量分别为 10，15 的独立样本，求它们样本均值的绝对值大于 0.3的概率。第七章 参数估计1，设 是总体参数， 是 的估计量，如果 ()E，就说 是 的无偏 估计量。设 与 是总体参数 的估计量，如果 12()()D，就说 比 是更12 12有效的估计。 是总体 的无偏估计， 是总体 2的无偏1niX221()niiSX估计。,2，随机的取 8个活塞环，测得它们的直径为（单位：mm）74.001 74.005 74.003 74.00174.000 73.998 74.006 74.0

10、02试求总体均值 及方差 2的矩估计值，并计算样本方差 s23，设 ，求下列各总体概率密度中待估1， 2， 3是来自 总 体的一个 样 本参数的矩估计量和最大似然估计量。()= 1 010 其他 其中 为 待估参数 ， 且 0; P(X=x)= ,x=0,1,2m,其中 0p1,p为待估参数。()(1)4，设从均值为 ，方差为 2的总体中分别抽取容量为 的两独立样本，1,2, 分别为两独立样本的均值。试证明：对于任意常数 a,b(a+b=1), +b1 2 1都是 的无偏估计，并确定常数 a,b使得 D（Y）达到最小。 25，设某种清漆的 9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0其干燥时间整体分布服从正态分布 N（， 2） ，求 的置信水平为 0.95的置信区间：（1） 据以往经验，=0.6h；（2） 若 未知。6，已知打包机所打的包的重量服从正态分布，从中抽取了 9包，称得它们的重量，计算得样本标准差 S =0.3，求包的重量方差的双侧置信区间（置信度为0.95） 。解：依题得：方差的置信区间表示为222/1/()(),nSnS，又 2220.510.510.95,/20.5,18,.9,(8)7.3,(8).10nS得区间（0.041，0.330 ）第八章 假设检验看看书上的例题