电磁场习题解.doc

1、第四章 恒定磁场4-1.真空中边长为 a 的正方形导线回路，电流为 I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为 z 方向。由例 4-1 知，长为 a 的线电流 I 在平分线上距离为 a/2 的点上的磁感应强度为aIzB201因而，边长为 a 的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为Iz401题 4-1 图 题 4-2 图 4-2. 真空中边长为 a 的正三角形导线回路，电流为 I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为 z 方向。由例 4-1 知，长为 a 的线电流 I 在平分线上距离为 b 的点上的磁感应强度为201)(4abIzB对于边长为 a 的正三角形，中心到每一边的距

2、离为 ，因而，边长为 a 的正方形6/3ab导线回路在中心点上的磁感应强度为aIzB293014-3. 真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为 I。求半圆中心处的磁场。I I(a)(b)abI(c)题 4-3.图解：设垂直于纸面向内的方向为 z 方向。由例 4-2 知，半径为 a 的半圆中心处的磁场为aIzB401（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此Iz0（2）由例 4-1 知，本题半无限长的载流长直导线在距离为 a 处的磁场为aIzB402因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和)2(0Iz（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即)1(40

3、baIzB4-4. 在真空中将一个半径为 a 的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为 I，求半圆弧心处的磁场。解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和)(40yxaIB、 分别为两半圆环平面的法向单位矢。xy4-5. 真空中半径为 a 的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为 ，沿轴向流动。Js求圆筒内外的磁场。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为 的圆环，利用安培环路定律lIdB0在圆环上磁场 相等， ，因此saJI2sJI024-6.如果上

4、题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z 方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为 L，则LBldlzJIs因此 sz0题 4-6 图4-7.真空中一半径为 a 的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为 ，求Jza02磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律lIdB0左边 2l右边 aJdaJSdI ;2042

5、0因此有 aJB;42034-8.在真空中，电流分布为0aJbzJs0求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕 z 轴线做一半径为 的圆环，利用安培环路定律lIdB0左边 2l右边 bJbaI;23)(20;03因此有 bJbaB;/)3(;00304-9.已知无限长导体圆柱半径为 a，其内部有一圆柱形空腔半径为 b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为 c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为 ，试求空Jz0腔中的磁感应强度。解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度 为B21B为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度； 为与此圆柱形空腔

6、互补而电流密度与实圆1B 2柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律101012zJJ20202 B式中 、 分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此12czJzJ2)(010为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。cYXabcJ习题图 4-9 4-10.已知真空中位于 xy 平面的表面电流为 ，求磁感应强度。Jxs0解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在 y 方向，跨电流面取一长为 L 的矩形回路，利用安培环路定律得02JB因此 写成矢量形式为0;20zJyB题 4-10 图4-11.宽度为 w 的导电平板上电流面密度为 ，如图所示，求

7、磁感应强度。Jys0JYXZ题 4-11 图解：在空间取场点 ，在导电平板上 位置取宽度为 的细长电流，在场点产生的磁),(zxxdx场为)()(2200 zyzxJydIB 导电平板上的电流产生的总场为)(2/ 20dxzxJBdW)2/2/(2)/(ln20 zWxarctgzxarctgz 4-12.半径为 a 的均匀带电圆盘上电荷密度为 ，圆盘绕其轴以角速度 旋转，求轴线上0任一点的磁感应强度。解：带电圆盘绕其轴以角速度 旋转，其上电流密度为 。在带电圆盘rvJss上取宽度为 的小环，电流为 ，由例 4-2 知，在轴线上产生的磁场为drrdIs2/3202/320)()(zzdrBs旋

8、转带电圆盘在轴线上产生的磁场为2)(2 202/30 zazrzssa 4-13.计算题 4-2 中电流的矢量磁位。解：首先计算载电流为 I、长度为 的直线在距离为 d 处的矢量磁位。设电流方向为21L，如图所示。l题 4-13 图矢量磁位为2210200 ln4412 dLIdzIlRdIAL 对于等边三角形， ， 。其中等边三角形的一条边在等边三角形中心a163的矢量磁位为32ln401IA等边三角形的三条边在等边三角形中心的矢量磁位为0)(l3210 llI4-14. 计算题 4-3 中电流的矢量磁位。4-15. 一块半径为 a 长为 d 的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为 ，求磁

9、Mz0化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化， 圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧0MJ面的磁化面电流密度为 ns在圆柱形导磁体表面取一宽度为 的电流环带，dz0dzMI先计算此电流环带在轴线上的磁场（例 4-2） ， 2/32)(aIB然后对 积分dzzadMB02/320)(积分得 )(22adz4-16. 一段截面为 长为 d 的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为ab，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。Mz0解：由于均匀磁化， 方柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形形导磁体0MJ侧面的磁化面电流密度为 ，围绕方柱形导磁体表面作如图所示的

10、平行与 xy 面ns的矩形回路，电流沿此矩形回路流动。先求高度为 dz的矩形回路电流在轴线上产生的磁感应强度 )()21()21()2(4 20 zbzazabdzB )()21()21()2(4 20 dzbzazabMzBd 4-17.在磁导率为 的媒质 1 及磁导率为 的媒质 2 中距边界面为 h 处分别平行于边界平1面放置相互平行的电流 、 ，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。I2hII2题 4-17 图解：用镜像法。在计算媒质 1 中的磁场时，在 2 区的镜像位置放置镜像电流 ；在计算媒2I质 2 中的磁场时，在 1 区的镜像位置放置镜像电流 。利用边界条件 、1I ttH1，

11、可得方程nB12121II)()(解此方程得21221 III21212 III电流 所受的力为 1I )(42121hIBlIF电流 所受的力为 2I )(2112IlI为引力方向。h4-18.在截面为正方形 半径为 的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为 maRa()匝，另一个线圈为 n 匝。磁芯的磁导率为 100，分别近似计算两线圈的自感及互感。解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，磁环中磁场相等。用安培环路定律NIldHN 为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中即 RI2IB2由于 ，穿过磁环截面的磁通近似为a2SmNIa因此 11RI11ILmRa2m2Ina22In21RI11

12、IMmRa24-19.在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为 ，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：长直导线到线框两边的距离分别为cos)2/(1adar22长直导线通过线框中的磁场为xIB0长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为 、 的圆弧之间的磁通，1r2因此穿过线框的磁通可用下式计算互感为1200ln21 rIbxIdrm 120lnrbIMm题 4-19 图 题 4-20 图4-20. 在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为xIzB20穿过三角形导线框中的磁通为SadmyxI0 2/ln)2/(ln230 adadI 互感为 IM/l)/(ln2320ad4-21.在 4-20 题中如果两导线回路的电流分别为 、 ，求等边三角形载流导线框所受的I12磁场力。解：系统的磁场能量为21212ILIWm对于常电流系统，磁场力为dMIF214-22.在 4-19 题中如果两导线回路的电流分别为 、 ，求矩形载流导线框所受的磁场力I12