复变函数与积分变换期末考试题.doc

1、哈尔滨工程大学本科生考试试卷 （ 2010-2011 年 第一 学期） 2011-01-04 得分 评卷人 选择题（每小题 2 分，共 10 分）一、1、000Im Imlimzzzzzz （ ） . i i 0 不存在 2、 若0 ( 1)nnn az 在 3z 发散，则它在 （ ） . A. 1z 收敛 2z 收敛 C. 2zi 发散 D. 均不正确 3、 已知 函数212() 1 co sfz zz， 则 0z ， z 分别是 ()fz的 （ ） . 二阶极点、孤立奇点 二阶极点、非孤立奇点 可去奇点、孤立奇点 可去奇点、非孤立奇点 4、映射 3ziw zi 在 0 2zi 处的旋转角为

2、 （ ） . /2 0 C. /2 D. 5、下列命题或论断中， 正确 的个数是 （ ） . I： Lnz Lnz ： 设 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y解析，则 u 是 v 的共轭调和函数 III： ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y的导数 ()fz 存在的充要条件是 ,uv的偏导数分别 存在 ： ( ) tan(1/ )f z z 在任意圆环域 0 zR不能展开为洛朗级数 0 1 2 3 得分 评卷人 填空题（每小题 2 分，共 10 分）二、6、设 ziei ，则 Rez . 7、 若函数 32( , )v x y x axy为

3、某一解析函数的虚部，则常数 a . 8、 设函数 coszez 的泰勒展开式为 0nnnzc ，则它的收敛半径为 . 9、设信号 ( ) ( 1)f t t，则通过 Fourier 变换得到的频谱函数 ()F . 10、设 1()( 1)Fs ss ，则通过 Laplace 逆变换得到 ()ft . 得分 评卷人 计算题（每小题 5 分，共 25 分）三、11、函数 33( ) 2 3f z x i y在何处可导？何处解析？ 12、设 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y是解析函数，且 22( ) ( 4 )u v x y x x y y ，求 ()fz. 13、计算

4、 积分 ()nC z z dz， 其中 :1Cz 为 负向 ， n 为 整数 . 14、计算积分(2 1)( 2)C zdzzz，其中 :3Cz 为 正向 . 15、利用留数定理计算 定积分20 1 cosd . 得分 评卷人 计算题（每小题 6 分，共 18 分）四、16、求函数2 3() 32zfz zz 在下列要求下的级数 (泰勒或者洛朗级数 )展开 ： (1) 圆 1z 内 ； (2) 环 12z内 ； (3) 环 11z 内 . 17、设 2321 si n( ) , : 32 C ef z d C ziz 正向，试求 ： (1) ()fz在复平面上除去 3z 的点处的函数表达式；

5、(2) ()fi 及 ()fi . 18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题 . (1) Z 平面阴影部分是角形区域 / 6 arg / 6z ，如下图所示。通过何种变换，保形映射为 1w 平面上的右半平面？在下图方框中填入该变换 . 1w 平面 (2) 21( 1)w i w ， 在下图中画出经过该映射后的区域 . 得分 评卷人 应用题（8 分）五、19、质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 20km 的弹簧一端（如下图所示），其中常数 0 为固有频率， ()ft 为 作用在物体上的外力 。 若物体从静止平衡位置0x 开始运动，物体的初始位移 (0) 0,x 初始速度大小 (0) 0x ，根

6、据牛顿定律 可得到 方程： ( ) ( ) ( )m x t f t k x t 假设在初始时刻 0t 时，物体受到外力 ( ) ( )f t t （ ()t 为单位冲击函数），应用 Laplace 变换，求解 物体的运动规律 ()xt 。 x x=0 m x kx f(t) 得分 评卷人 证明题（ 5 +4 =9 分）六、20、假设 ()fz在给定区域 D 解析，且 ( ) 0fz ， 若 ()fz 为 常数，证明 ： ()fz为常数 . 21、若1 nn a收敛而级数1 nn a发散， 证明： 幂级数1nnn az的收敛半径为 1. 题号 一 二 三 总分 分数 评卷人 得分 评卷人 填空

7、题（每小题 2 分，共 20 分）一、1. 3i . 2. 设 3 2 2 3( ) 3 3f z x x y i x y y i ，则 ()fz . 3. 幂级数0 (cos )nn in z的收敛半径 R = . 4. 设 C 为正向 圆周 32z ，则积分22d( 1)( 4 )C zzz . 5. 设 C 为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，则 12e dzCzz . 6. z 0 是函数5cos 1() zfz z 的孤立奇点，其类型为 . （如果是极点，则要说明阶数） 7. 函数21() ( 1)fz zz 在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 . 8. 映射 1w z 将 z 平

8、面内的圆域 11z映射到 w 平面内的区域为 . 9. 函数 sinwz 在 4z 处的转动角为 . 10. 已知函数 0, 0,()1, 0.tut t ， 0, 0,()e , 0.t tft t ，则 ( )* ( )u t f t . 得分 评卷人 单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）二、哈尔滨工程大学本科生考试试卷 （ 2012 年 秋季 学期） 课程编号： 0911009 课程名称： 复变函数与积分变换 (A 卷 ) 2012-12-02 说明：请将 以下 单项选择题的答案 按题号 写入下表中 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1方程 2Re 1z 所表示的平面曲

9、线为（ ） . (A) 圆 (B) 直线 (C) 椭圆 (D) 双曲线 2极限0limz zzz 的值为（ ） . (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D)不存在 3设 Ln(1 )wi，则 Imw 为 （ ） . (A) 4 (B) 2 , 0, 1,4kk (C) 4 (D) 2 , 0 , 1,4kk 4下列等式中，不成立的是（ ） . (A) 4a r g ( 3 4 ) a r c ta n 3i (B) arg( 3 ) arg( )ii (C) 2a r g ( 3 4 ) 2 a r g ( 3 4 )ii (D) 2|z z z 5下列函数中，在整个复平面上 解析的函数是（ ） . (A) ezz (B) tan ezz (C) sin ezz (D) 2sin1zz6在复平面 内 ，下列命题正确的是（ ） . (A) e cos siniz z i z (B) 2 |zz (C) cosz 是有界函数 (D) 2Ln 2Lnzz 7下列积分中，积分值不为零的是（ ） . (A) 3( 2 3)dC z z z，其中 C 为正向圆周 | 1| 2z (B) edzC z，其中 C 为正向圆周 | | 5z (C) sin dC z zz，其中 C 为正向圆周 | | 1z