中心极限定理的应用研究.doc

1、题 目： 中心极限定理的应用研究 姓 名： 李 若 愚 学 号： 200804010159 系 别： 数学与信息科学系 专 业： 数学与应用数学 年级班级： 2008级数应1 班 指导老师： 高 继 梅 2012 年 月 日目 录摘要 1引言 31. 中心极限定理的相关知识 31.1 中心极限定理的提出 31.2 两个常用的中心极限定理 32.中心极限定理的应用举例 42.1 中心极限定理求概率问题 42.2 中心极限定理解参数问题 93.分析与总结 14参考文献 16致谢 17周口师范学院本科毕业论文（设计）1中心极限定理的应用研究摘 要：概率论与数理统计是数学的一个特色且又十分活跃的一个分

2、支，由于近年来突飞猛进的发展与其应用的广泛性，目前已成为一门独立一级学科，其方法也广泛应用于工业、 农业、管理、军事与科学技 术中. 大数定律和中心极限定理作为概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带，在数理统计中是非常重要的一章内容. 它提出，大量独立随机变量之和具有近似于正态的分布，因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验呈现出钟形(即正态分布)曲线这一事实，因此，中心极限定理的应用范围越来越广 阔， 应用实例越来越多，同时，这 也促使正态分布得到了更广泛的应用. 关键词：概率论;中心极限定理;正态分布周口师范学院本科毕业论文（设

3、计）2A Research of Central-limit Theorems ApplicationAbstract：Probability and Mathematical Statistics is a characteristic and very active branch of mathematics. After years of advance rapid development and extensive application of it, now it has become an independent first grade subject. Its method is

4、 also widely used in industry, agriculture, management, military and scientific technology.As an important link between probability and mathematical statistics, the law of large numbers and central-limit theorem in mathematical statistics is a very important chapter. It puts forward that the sum of

5、many independent random variables is similar to the natural distribution. Therefore, it not only provides a simple idea to calculate the approximate probability of independent random variables, but also helps people to explain why the shape of many natural groups experience present a bell (i.e. natu

6、ral distribution) curve. Therefore, the application range of the central-limit theorem is more and more wide and application examples become more and more. And, at the same time, it also encourages the natural distribution get more extensive application.Keywords: Probability; Central-limit Theorem;

7、Natural Distribution周口师范学院本科毕业论文（设计）3引言概率论与数理统计中，常见而又最重要的分布之一就是正态分布. 在实际生活与生产应用等方面，很多的随机变量都是服从正态分布的. 另外,哪怕原来有些随机变量，它们并不服从于正态分布，只要它们之间保持相互独立，那么它们和的分布也总是近似服从于正态分布. 那么, 自然要有了这样一个问题：正态分布为什么存在地如此广泛呢？其在概率论中为何占有如此重要的地位呢?大量的随机现象产生的这一客观规律性又应如何解释呢?事实上，这正是客观实际的反映，中心极限定理就是概率论中论证随机变量和的极限的分布为正态分布的定理的总称.1.中心极限定理的相

8、关知识1.1中心极限定理的提出l8世纪，自棣莫佛首先提出中心极限定理以来，时至今日，其内容已经变得非常丰富. 中心极限定理已经不再只是概率论中的重要内容，而且在数理统计中，作为大样本统计推断的理论基础，它也发挥着巨大的作用. 某种随机现象很可能是在非常多的因素印象下造成的，若这些影响因素之间保持彼此相互独立性，那么，这些因素所累积起来的影响将会使此随即现象的分布趋近于正态分布. 而这就是中心极限定理要证明的东西. 由中心极限定理,我们可知,在一般的情况下, 当 足够大时, 个独立随机变量的和 的极限分布总是服从n1inx正态分布的,而不论这些独立随机变量 彼此是服从于什么分布. 因(2)iX，

9、 ，此,它不仅解释了为何在现实中,那么多的数量指标的分布都服从或近乎于似服从正态分布这一确凿的事实,而且还提供给了人们一个计算独立随机变量之和的近似极限概率分布的简单而有效的方法,这对于生产生活的意义是非常深远的. 1.2两个常用的中心极限定理根据不同的假设条件，中心极限定理有多个，其中最常用的两个为:列维-林德伯格 中心极限定理和棣莫佛 -拉普拉斯()Levyindberg周口师范学院本科毕业论文（设计）4中心极限定理.()DeMoivrLaplce定理1 列维-林德伯格(LevyLindeberg)定理(独立同分布的中心极限定理)设 是独立同分布的随机变量序列，且 ， .nX()iEX2(

10、)0iVaryX记 *12nnXY则对任意实数 ,有y 2*1lim()(tnn yPyed此定理只假设 独立同分布、方差不存在，不管原来的分布是什么，只X要 充分大，就可以用正态分布去逼近. n定理2 棣莫佛-拉普拉斯 中心极限定理()DeMoivrLaplce设重伯努利试验中,事件 在每次试验中出现的概率为 , 记 为A(01)pn次试验中事件 出现的次数,且记n*npYq则对任意实数 ,有y 2*1lim()(tnn yPYyed2.中心极限定理的应用举例中心极限定理在生活中各个方面的应用非常广泛，特别是两个主要的中心极限定理. 本文将首先给出几个具体的应用两个主要中心极限定理解决实际生

11、活问题的例子.2.1中心极限定理求概率问题中心极限定理在社会生活中的应用由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防. 在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和周口师范学院本科毕业论文（设计）5统计是很有必要，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用. 例 设男孩的出生率为0515，求在10000个新生的婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率是多少?解法1: 设 为10000个新生婴儿中男孩的数目，则 ，X (10.5)XB ，要求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求 . 50)P由棣莫佛拉普拉斯定理可得 501.)()0485PX3).3解法2:

12、设 为10000孩的数目，令1iX第 个 为 男 孩第 个 为 女 孩 (1,20)i则 ,且 独立且同分布，10ii1210,()5(.5)0(1.5)0.1iEXl。22224975iiiDEX则女孩数目不少于男孩数目的概率为 P由列维林德伯格中心及限定理有 10.5010.5(50)( )24972497XPX.()(3.105即在10000个新生婴儿中,女孩数目不少于男孩数目的概率大约为0.00135.中心极限定理在保险业务中的应用保险行业可以说是应用概率与统计知识最频繁的一个领域了,人口数据、意外因素估计、保险金额、赔付比例等等，这些都是经过分析统计才能得出的结果.此处本文将通过两个

13、典型的保险实例来说明中心极限定理在这一领域中的应周口师范学院本科毕业论文（设计）6用.例1 某家保险公司此次有10000个人参与了人寿保险,平均每人每年付30元保险金. 据调查统计, 一年之内有一个人死亡的概率大约为0.2%，而此后, 死者家属可向保险公司申请领取5000元的慰问金，请问:(1)该保险公司有多大的概率可能在这个项目上亏本?(2)该保险公司一年内有多大的概率在这个项目上获利不少于150000元?解：(1)若一年内死亡的人数设为 ，则 ，其中， ，X (,)Bnp10n.0%p设保险公司一年内的利润为 ，Y10350X因此,由棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理(1) 0PY160X=1

14、(8.95)(其中，)2060260)( )(8.951.%9.81.%9.XPX 因此该保险公司几乎不会因为该项目而亏本. (2)由题意可知，即求 (150)(103501)(30)PyPPX因此,由棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理,上式可表为 22(3)( )10.%9.810.%9.8XX .4)7即该保险公司一年内将有98.74%的可能于该项目中获得不少于150000元的利润.例2 有一种 100000张同类型保险单据的组合，设被保人的损失相互之间保周口师范学院本科毕业论文（设计）7持独立，并且保单规定被保会员将从保险人员处获得所发生损失80%（比例保险）的赔付金额，另设保险期之内,所有可

15、能的损失服从以下分布： X0 50 200 500 1000 10000()Px0.30 0.10 0.10 0.20 0.20 0.10试确定一定的安全附加保险费,使得所收的保护费用总金额不低于理赔总金额的概率概率至少为95% . 解：设 为损失变量，则理赔变量为10iiLX10.8.iiSLX另设安全附加费率为0，则保险费用总额为 ，按题意有()GES(1)95%PS将 标准化处理有S()()EDS按照题意以及中心极限定理，可知理赔总金额 的分布能用正态分布来近似, S即 ()SEEPDSDS因为 ()106543920S令,()%EDS有周口师范学院本科毕业论文（设计）8()1.645E

16、SD故而安全附加费为: ()1.645391201239.ES中心极限定理在商业营销中的应用商业营销也是一个需要用到概率统计知识的领域. 对大量的数据进行统计分析,判断市场形势,进而做出最优的决策. 这就是中心极限定理在商业营销中的重要作用.例 设有某一汽车销售点, 其每天售出的汽车数目服从参数为 的泊松2分布，若其每天的销量之间是相互独立的，这样按照一年365天,每天都经营汽车销售的话，求其能以多大的概率一年售出至少700辆汽车.解：设第 天出售的汽车的数量为 ，则一年的总销量为i i12365由 ，有()2iiED()70E利用两个常用的中心极限定理可得 3(70)1()1()70PP.0.865由此例,我们可以看到,中心极限定理揭示了连续随机变量与离散随机变量的内在关系, 即离散随机变量的极限分布是正态分布. 当然，中心极限定理不仅具有其生活实际的使用价值，对于解决纯理论的数学问题，证明数学等式也有其独到的使用价值，以下就是一个用中心极限定理证明极限等式的典型例证.中心极限定理在理论数学方面的应用