勾股定理的实际应用题.doc

1、 18如图，有一只小鸟在一棵高 13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以 2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？19 （2007义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长（1）如图 1，正方体的棱长为 5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到点 C1 处；（2）如图 2，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到C1 处；（

2、3）如图 3，圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图 4 所示，且AOA 1=120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A20 （2013贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图 1，圆柱的底面半径为 1dm，BC 是底面直径，圆柱高 AB 为 5dm，求一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线：路线 1：高线 AB+底面直径 BC，如图 1 所示路线 2：侧面展开图中的线段 AC，如图 2 所示 （结果保留 ）（1）设路线 1 的长度为 L1，则 = _ 设路线 2 的长度为 L2，则 = _ 所以选择路线 _ （填 1

3、或 2）较短（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为 5dm，高 AB 为 1dm”继续按前面的路线进行计算此时，路线 1：= _ 路线 2： = _ 所以选择路线 _ （填 1 或 2）较短（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为 2dm，高为 hdm 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的路线最短21如图，正方体边长为 30cm，B 点距离 C 点 10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从 A 点爬到 B 点，其爬行速度为每秒 2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到 B 点？2010-2014 菁优网22 （2013盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为

4、 1cm 和 3cm，高为 6cm，如果用一根细线从点 A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达 B（B 为棱的中点） ，那么所用细线最短需要多长？如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长？23如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙） ，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处若 AB=4，BC=4，CC 1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长一选择题（共 5 小题）二解答题（共 22 小题）6 （2013徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口 A 出发开往海岛 B

5、，甲船沿东北方向向海岛 B 航行，其速度为 15 海里/小时；乙船速度为 20 海里/ 小时，先沿正东方向航行 1 小时后，到达 C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东 30方向开往 B 岛，其速度仍为 20 海里/ 小时（1）求港口 A 到海岛 B 的距离；（2）B 岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆 5 海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？7 （2012古冶区二模）有一艘渔轮在海上 C 处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上 A 处和 B 处，B 在 A 的正东方向，且相距 100 里，测得地点 C在 A 的南偏东

6、 60，在 B 的南偏东 30方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为 40 里/小时和 30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到 C 处救援？（ 1.7）2010-2014 菁优网8如图，要在高 AC 为 2 米，斜坡 AB 长 8 米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？9如图，一块三角形铁皮，其中B=30，C=45，AC=12 cm求ABC 的面积10如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 AC 的距离为 0.7 米（1）若梯子的顶端 A 沿墙 AC 下滑 0.9 米至 A1 处，求点 B 向外移动的距离 BB1 的长；（

7、2）若梯子从顶端 A 处沿墙 AC 下滑的距离是点 B 向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙 AC 下滑的距离是多少米？11如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10 米的 D 处有两只猴子，他们同时发现 C 处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶 A 处，又沿滑绳 AC 滑到 C 处，另一只猴子从 D 滑到 B，再由 B 跑到 C 处，已知两只猴子所经路程都为 15 米，求树高 AB1 （2010新疆）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A 3m B

8、 5m C 7m D 9m2010-2014 菁优网 2 （2007茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A12a13 B 12a15 C 5a12 D5a133 （2012乐山模拟）一船向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的南偏东 60，距离为 72 海里的 A处，上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A18 海里/小时 B 海里/小时 C 36 海里/小时 D海里/小时4 （2010罗湖区模拟）在直径

9、为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽 AB=8m，那么油的最大深度是（ ）A1m B 2m C 3m D4m5如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm，现有一长为 16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分 h 的取值范围为（ ）A3h4 B 3h4 C 2h4 Dh=412如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？2010-2014 菁优网13如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处

10、，以每小时 40km 的速度向北偏东 60的 BF 方向移动，距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？14如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km（1）台风中心经过多长时间从 B 移动到 D 点？（2）已知在距台风中心 30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点 D 的工作人员早上 6：00 接到台风警报，台风开始影响到台风结束

11、影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？15 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪 A”正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车” 位置 B 与“车速检测仪 A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由16某工厂的大门如图所示，其中下方是高为 2.3 米、宽为 2 米的矩形，上方是半径为 1 米的半圆形货车司机小王开着一辆高为 3.0 米，宽为 1.6 米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由20

12、10-2014 菁优网17勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图 1：ABC 中，BAC=90） 请解答：（1）如图 2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积 S1、S 2、S 3 之间的数量关系是 _ （2）如图 3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积 S1、S 2、S 3 之间的数量关系是 _ ，请说明理由（3）如图 4，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC+BCD=90，BC=2AD，分别以 AB、CD、AD 为边向梯形外作正方形，其面积分别为

13、S1、S 2、S 3，则 S1、S 2、S 3 之间的数量关系式为 _ ，请说明理由2010-2014 菁优网24如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？25如图所示，圆柱形的玻璃容器，高 18cm，底面周长为 24cm，在外侧距下底 1cm 的点 S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径26如图，一正方形的棱长为 2，一只蚂蚁在顶点 A 处，在顶点 G 处有一米粒（1）问蚂蚁吃到这粒米需

14、要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了 GF 的中点 M 处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？27如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）2010-2014 菁优网2014 年 3 月 352449109 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 5 小题）1 （2010新疆）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半

15、圆内种菜，他家养的一只羊平时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A3m B 5m C 7m D9m考点： 勾股定理的应用3502449专题： 应用题；压轴题分析： 为了不让羊吃到菜，必须等于点 A 到圆的最小距离要确定最小距离，连接 OA 交半圆于点 E，即 AE是最短距离在直角三角形 AOB 中，因为 OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得 OA=10那么 AE 的长即可解答解答： 解：连接 OA，交半圆 O 于 E 点，在 RtOAB 中，OB=6，AB=8，所以 OA= =10；又 OE=OB=6，所以 AE=OAOE=4因此选用的绳子应该不大于 4m，故选

16、A点评： 此题确定点到半圆的最短距离是难点熟练运用勾股定理2 （2007茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）2010-2014 菁优网A12a13 B 12a15 C 5a12 D5a13考点： 勾股定理的应用3502449专题： 压轴题分析： 最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答解答： 解：a 的最小长度显然是圆柱的高 12，最大长度根据勾股定理，得： =13即 a 的取值范围是 12a13故选 A点评： 主要是运用勾股定理求得 a 的最大

17、值，此题比较常见，有一定的难度3 （2012乐山模拟）一船向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的南偏东 60，距离为 72 海里的 A处，上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A18 海里/小时 B 海里/小时 C 36 海里/小时 D海里/小时考点： 勾股定理的应用；方向角3502449专题： 应用题分析： 首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船 8 时到 10 时航行的距离，再求速度即可解答解答： 解：如图在 RtABC 中， ABC=9060=30，AB=72 海里，故 AC=36 海里， BC= =36 海里，艘船航行的速度

18、为 36 2=18 海里/ 时故选 B点评： 本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线4 （2010罗湖区模拟）在直径为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽 AB=8m，那么油的最大深度是（ ）2010-2014 菁优网A1m B 2m C 3m D4m考点： 勾股定理的应用；垂径定理的应用3502449分析： 本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧 AB 的中点到弦 AB 的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理来解决解答： 解：过点 O 作 OMAB 交 AB 与 M

19、，交弧 AB 于点 E连接 OA在 RtOAM 中： OA=5m，AM= AB=4m根据勾股定理可得 OM=3m，则油的最大深度 ME 为 53=2m故选 B点评： 考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题5如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm，现有一长为 16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分 h 的取值范围为（ ）A3h4 B 3h4 C 2h4 Dh=4考点： 勾股定理的应用3502449分析： 根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为 1612=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短解答： 解：当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为 1612=4（cm） ；露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为 5cm，高为 12cm，