数学为何三大难.doc

1、数学为何三大难我所讲的数学，与大家学过的、听说过的数学，不太一样。它既不是如何解题，也不是如何计算。这个课程叫做：理解数学。就是如何理解数学和做数学理解的意思。 理解和应用，在数学学习和教学中至关重要，其重要性远远超过了我们意识到的程度。如何理解数学总述，围绕如何理解数学和如何做数学理解（也即数学阅读） ，针对初等数学，主要包括如何理解数学：即数学是什么、有什么用、如何用；如何理解数：即数字、代数、计算是什么、有什么用、如何用；如何理解形：即图形、几何、证明是什么、有什么用、如何用；如何理解分析：统计、函数、微积分是什么、有什么用、如何用。 数学到底是什么？为什么人们纷纷反映数学难学、难教、难

2、用？ 2014 年国家公布招生考试方案消息后，在互联网上曾掀起一股热潮：让数学滚出高考。很多人抱怨，学了十几年数学，到头来只有买菜时用得上。 事实上，这些难题一直困扰着我国的数学教育，是我国数学教育中的普遍难题，在数学教育中几乎成了望而却步的高山峻岭。数学学习与教学之难之尴尬，与英语学习与教学之难之尴尬，成为我国基础教育乃至高等教育中的两座困难大山。要拔掉这座困难之山，可能就需要先把这三个问题搞清楚。 是不是所有国家、所有人学习数学和数学教学都这么困难呢？显然不是。看看世界数学史上的那些灿若群星的数学家、看看古希腊时期数学发现等，我们就知道数学与其他学科和技艺一样，并没有什么特殊难度，而且在一

3、定程度上学习的难度要低于语言之外的其他学科。我们再看看欧美主要国家，他们的学生学习数学从来没有像我们的学生学习数学这么困难过，学习数学对美国和欧洲的孩子们而言，比学习其他学科反而容易这是不是有点意外？超出了我们平时的 常识？ 若干年前轰动全国的素质教育在美国 、 高考在美国的作者黄全愈博士是我的好友。黄博士不是数学专业，而且似乎数学能力很一般，他的妻子陈彤女士也不是数学专业，然而他们的儿子矿矿刚开始数学虽然不太好，但到了小学三四年级，矿矿开始自学数学，小学毕业前自学完了高中数学。矿矿学习数学的经历曾轰动一时。我曾经仔细问过黄全愈博士，矿矿自学数学困难不？是不是孩子的数学天分高？黄博士说：NO！

4、矿矿的数学天分应该一般；他自学数学快乐得很，而且学得很快，至少比其他学科快得多。黄老师的话我信服，而且我自己就是从小学一路自学数学过来的，我很少听老师的数学课，但看了很多数学方面的书。那么，为何数学教育和数学学习在我国这么困难、在绝大多数学生和教师那里成为学习、教学困难之山呢？ 其实这问题也很简单，只要试图回答清楚三个问题，看看回答的过程和结果就知道原因了：什么是数学？组成数学的最基本要素是什么？学习数学有啥用？ 我们再回想一下，我们可以经常阅读各种书籍，唯独不阅读数学。而且甚至于一提数学阅读，很多人就说：数学怎么阅读？！数学是阅读的吗？如果再问学数学有啥用？如果大家诚实，就会说：算数、测量用

5、。这显然不是数学的全部吧？ 由此，一个基本的事实就暴露出来：我们竟然不了解、不理解、不会用数学。换句话说，我们对数学竟然缺乏基本的认知、理解和应用。数学的存在、意义和价值，我们竟然所知甚少。而我们对除外语和数学之外的其他学科，却不是如此。 数学，对我国绝大多数人而言，实际上就是：算数和图形；换言之，数学就是中国铁器时代之前的算数和画图；数学不是古希腊数学和源自古埃及、古阿拉伯、古希腊的近现代数学，而是中国数学算术和图形。 数学学习与教学困难的基本原因就暴露出来了。 对学习现代数学而言，我们缺乏最基本的历史和文化、认知和理解。数学，不是中国算术和图形；算术和图形只是组成数学的原始的基本的部分原材

6、料。近现代数学，对我国而言，是舶来品，完全的舶来品，这就如英语一样。换句话说，我们按照中国数学文化和思想来学习现代数学，此路不通。如果按照现代数学本身学习和教学，那我们缺乏必需的基本资源和路径历史、文化，认知、理解。这里指的是现代数学本身的历史、文化和认知、理解方法，而非中国数学的历史、文化和认知、理解方法。 数学，对我们而言为何那么难以了解和理解？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的土壤和空气现代数学的历史、文化和思想；数学，对我们而言为何那么难以学习和应用？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的营养和氧气现代数学的思维、方法和实践。我们现在学习、教学的课本、课标等，属于现代数学中的初等数

7、学，而初等数学就是古希腊数学至 16 世纪的数学。这是西方的数学史，当然也是西方的数学文化。我国的数学教育，非但不教授西方数学史和文化，而且是用中国古代近代数学史和文化来替代。其恶果不言而喻。 我们学习的数学为何抽象、苦涩、难懂？！脱离了史实和事实的符号世界，岂能不抽象、难懂和苦涩？如何理解数学，从以上文字中，相信大家已有感触：必须拿起古希腊数学史、近现代数学史；重回古希腊、西方近现代文化，尤其是数学文化；找回数学史实和事实。 如何理解和应用数学？让我们重回数学史、文化、思维、方法产生的时空，一步步走到现代文明，建构数学感知、认知、探知的思维和方法。 数学（mathematics） ，是研究数

8、量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。 数学（汉语拼音：shxu；希腊语：；英语：Mathematics） ，源自于古希腊语的 ，其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点， “学问的基础” 。在中国古代， “数学”叫作算术，又称算学，后改为数学。中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数” ） 。请注意：西方古代数学的原意，是学问、哲学的起点、学问的基础。而中国古代数学则是算术、算学两者，有天壤之别。数学起源于人类很具体、具象的生存、生活与生产的需求，人类对生存、生活和生产所必须

9、和必需的、有兴趣的、好奇的物和事，需要认知和理解，也需要区分与解释。这是数学产生的根本源头、动力和目的。那么，为什么对物和事的认知和理解以及区分与解释，就产生了数学呢？这取决于人类是如何认知和理解（区分和解释）物（食物、器物等）和事（人与人之间、人与物之间等发生的关系和变化） ，是人类生存、生活、生产所必须面对和所必需认知、理解及区分、解释的。比如，原始人类活着的每一天，必须面对各种食物、使用各种器物，必须面对各种事务（关系和变化） 。面对的同时，首先是必须认知和理解各种食物、器物、事务，还必须面对向同伴或其他人做指示、区分和解释。人类对物和事的认知，首先是辨认“是什么” 、 “怎么吃或用”等

10、，由此逐渐产生了标记、表示和表达由“记物、记事”需求造成了文字的产生和发展；其次是辨认“有多少” 、 “有多大”等，由此逐渐产生了多少、多大等标记、表示和表达由“计物、计事”需求造就了数字和图形的产生和发展。 人类对物和事的理解，首先是区分和数量、测量。区分物和事，是基于对其形状、形式的辨认，由此产生了象形、会意等；而对物和事的准确理解，则导致了进行数量和测量。随着人类接触和使用的事和物范围及深度增大，对物和事的认知和理解逐步扩展和加深，导致“记物、记事”与“计物、计事”开始融合，分类、比较、分拆、组合逐步产生并形成思维方法。由分类、比较的扩展和深化，归纳意识和方法产生并发展；由分拆、组合的扩

11、展和深化，推理意识和方法产生并发展。 随着人类认识和理解，以及表达和解释的发展，由对物、事的“分类+比较”思维逐步产生了定义、概念；由“分类+比较”+“分拆+组合”产生了以概念为基础的推理形式逻辑出现。由对物、事的追求彻底分类、比较，分类法和分类规则的出现，导致归纳法的深度发展。同时，因为对必然和或然的感知积累，也分别导致了对因果律和统计律的追求，这也是出现逻辑和统计（归纳）的原因之一。总之，数学的起源和初始并不抽象；数学的对象、方法、规则等也不抽象。人类的所谓抽象，本质是去形象、形状、形式化，以特征和指代来表征物、事；也是要大量、简洁的标示、表示和表达目的、方法和规则的需要。由此，是因为字系

12、、数系、形系、方法系、规则的发展，导致数学逐步远离了具象（形象、形状、形式） ，而走向了抽象（特征、指代、指事）等。 乘法与除法，其实质是：基数与序数之间的运算而我国数学不讲这个，只做还原为加减法和格式律，这是有问题的，比如：乘法，实质是：基础序数，也即，个数与位置之间的关系和加合而除法，实质是分配法：基数分配给序数个数分配给位置数学，其基本要素就是：数、形、规则。 在数学基础研究上，有三种基本研究可以视作三种基本规则：直观、逻辑、形式。换句话说，类似“1+1=2”这种，一般而言，必须符合直观、逻辑、形式规则，才能被认同。所谓直观，可以理解成：符合人类的感知和经验；所谓逻辑，也就是形式逻辑了大前提、小前提、结论；所谓形式，即抽象结构，构造直观就如两点确定一条直线。逻辑也能理解，就是直观难理解。其实直观最好理解。直观，你可以看成是事实或实物或存在。 我们的现状是：很多人学的数学与生活是脱离的。都知道数学的一些统筹方法好，做事效率高。一旦到现实生活中，很少有人用数学思维去思考，用数学习惯去改变我们的生活。作为数学教师，我们任重而道远。 （作者单位：公众教育研究院）