1、相似三角形-射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性 质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的 结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“ 山穷水尽疑无路”时， “柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面 结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中
2、项。 如图（）：t中，若为高，则有D AD 、或 。（证明略）二、变式推广逆用 如图（）：若 中， 为高，且有 或 或 ，则有或 ，均可等到 为直角三角形。（证明略）一般化，若不为 直角三角形，当点 满足一定条件 时，类似地仍有部分结论成立。 （后文简称：射影定理变式（2）如图（）：中，D 为上一点，若 ，或，则有 ，可得 AB ；反之，若中，为上一点，且有，则有 ，可得到，或。（证明略）三、应用例 如图（），已知：等腰三角形中，高、交于点，求证： 分析： 易证 =900-CHBD， 联想到射影定理 变式（2），可得 ，又，故有 结论成立。（证明略）例 如图（）：已知中，为弧中点，过点的弦被弦
3、分为和两部分，求。分析：易得到 ，满足射影定理变式（2）的条件，故有，易求得(解略)例 3 已知：如图（5），中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，交的延长线于点，求证： 。证明：连， 垂直平分， ， ，平分 ， ， ，又 C 公共， ， ， 。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形 中，斜边 AB=5cm,BC=2cm，D 为 AC 上的一点， 交 AB 于 E，且ABC: EABAD=3.2cm，则 DE= （ ）A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm2、如图 1-1，在 Rt 中，CD 是斜别 AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线
4、段的长，就可以求其他线段的长 A、1 B、2 C、3 D、43、在 Rt 中， ， 于点 D，若 ，则 （ ）ABC:90ABC34ABDCA、 B、 C、 D、443169164、如图 1-2，在矩形 ABCD 中， ，则 （ ）1,3DEACDEBA、 B、 C、 D、2.5304560【填空题】5、 中， ， 于点 D，AD=6，BD=12，则 CD= ，AC= C:9A， = 。2:6、如图 2-1，在 Rt 中， ， ，AC=6，AD=3.6，则 BC= B90CAB【解答题】7、已知 CD 是 的高， ，如图 3-1，求证：ABC:,DEAFCBCEFBA:8、已知 ， ， ， 是
5、正三角形，求证：90CABDCBAE:FDEF9、如图 3-2，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，M 是 BC 的中点， ，E 是垂足，求 证：AM24abE10、如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD11、已知：如图，等腰ABC 中，AB=AC ，ADBC 于 D，过点 B 做射线 BG，交 AD、AC 于 E、F 两点，与过点 C 平行于 AB 的直线交于点 G。求证： （1）BE2=EFEG（2）若过点 B 的射线 交 ADAC 的射线、的延长线分别于、两
6、点，与过 C 平行于的直线交于点，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。参考答案1、C 2、B 3、C 4、C 5、 ,:16、 87、证明：在 Rt 中，由射影定律得，AD，在 中，2CERtBC2DFBC:,CEBCEAFA:又 ，:8、证明：如图所示，在 中，Rt22,DBC:22ACDCABB:,AEEFD6060,BDC 又，BD,BFAE:90FEAE9、证明：在 和 中， ，RtMB:tDAMBDE90ABED所以 AE所以 ，因为 AB=a，BC=b，E所以 224ABDabaMb:10 证明：（1）ABC 是直角三角形，A+ABC=90，CDAB，CDB=90，即MCB+ ABC=90，A=MCB，CDAB，2+DMB=90，DHBM，1+DMB=90，1=2，又ADE=90+ 1，CMB=90+2，ADE=CMB，AEDCBM；（2）AEDCBM，AE：AD=CB：CM，AECM=ADCB，ABC 是直角三角形，CD 是 AB 上的高，ACDCBD，AC：AD=CB：CD，ACCD=ADCB，AECM=ACCD11 连结 EC。证明先 BE=EC。再 证 CEF GEC
