向量的极化恒等式与等和线的应用 学生版.doc

1、 1 / 8极化恒等式.两 倍等 于 两 条 邻 边 平 方 和 的 平 方 和平 行 四 边 形 的 对 角 线 的你 能 用 向 量 方 法 证 明 ： 何 模 型 。示 向 量 加 法 和 减 法 的 几引 例 ： 平 行 四 边 形 是 表 ,bADaB证 明 ： 不 妨 设 ，则 bAC（1）222 （2）baaDB（1） （2）两式相加得： 22CADBDBA结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考 1：如果将上面（1） （2）两式相减，能得到什么结论呢？ 极化恒等式ba24ba对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意

2、义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 .41即： （平行四边形模式）22DBACba思考：在图 1 的三角形 ABD 中（M 为 BD 的中点） ，此恒等式如何表示呢？因为 ，所以 （三角形模式）22241DBAba例 1.(2012 年浙江文 15)在 中， 是 的中点， ，则C3,10AMBC_ .ABC AB CM2 / 8目标检测 ._1)1320( 的 值 为边 上 的 动 点 ， 则是点 ，的 边 长 为已 知 正 方 形改 编北 京 文 DAEABEBC._O2.2的 取 值 范 围 是则 上 的 一 个 动

3、点 ，是 圆， 点的 圆内 接 于 半 径 为（ 自 编 ） 已 知 正 三 角 形例 PBA PBC目标检测 8.6.3.2. )(134)10( 2DCBAFPOPyx 的 最 大 值 为则为 椭 圆 上 的 任 意 一 点 ， 的 中 心 和 左 焦 点 ， 点分 别 为 椭 圆和 点若 点福 建 文 例 3.（2013 浙江理 7）在 中, 是边 上一定点，满足 ，且对于边ABC0P014PBA上任一点 ，恒有 。则( )ABPA. B. C. D. 90C9ABC例 4. (2017 全国 2 理科 12)已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ()P

4、ABC的最小是（ ）A. 2 B. 32 C. 43 D. 13 / 8课后检测1.在 中， 若 ， ， 在线段 上运动，ABC602AB3CDAC的最小值为 D2.已知 是圆 的直径, 长为 2, 是圆 上异于 的一点, 是圆 所在平面上ABOABCOABPO任意一点,则 的最小值为_P3在 中， ， ， ，若 是 所在平面内一点，且ABC34AC60BPABC，则 的最大值为 2P4 若点 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点，点 为双曲O(2,0)F21(0)xyaP线右支上任意一点则 的取值范围是 .P5在 ， ，已知点 是 内一点，则 的最小RtABC2PABC)(PBA值是 .6.已

5、知 是单位圆上的两点， 为圆心，且 是圆 的一条直径，BA、 OMNABo,120O点 在圆内，且满足 ，则 的取值范围是（ C)0()1(ACC）4 / 8A B C D1,21,0,430,17. 正 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（ ）BC3PPBAA. B. C. D. 2,321, 23,121,8在锐角 中，已知 ， ，则 的取值范围是 ABC32ABCAB9. 2.2.1. )(,0)(2908DCBAcbca cba 的 最 大 值 是则 满 足， 若 向 量个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量是 平 面 内已 知浙 江 理 5 / 8lAQBO A11P

6、lOAB C1平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一） 平面向量共线定理 已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然OABC1,ABC（二） 等和线平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直,OP(,)ORP线 上或者在平行于 的直线上，则 （定值） ，反之也成立，我们把直线k以及与直线 平行的直线称为等和线。AB（1） 当等和线恰为直线 时， ；AB1（2） 当等和线在 点和直线 之间时， ；O(0,)k（3） 当直线 在点 和等和线之间时， ；（4） 当等和线过 点时， ；0k（5） 若两等和线关于 点对称

7、，则定值 互为相反数；k【解题步骤及说明】1、 确定等值线为 1 的线；2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例 1、给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角OAB为 ，如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上变动。02C若 ，其中 ，则 的最大值OCxAyB,xyRxy是_。跟踪练习：

8、已知 为 的外心，若 ， ，则C1cos3ABCOABC的最大值为_6 / 8AOBCSMBA CDQNP例 2、在平面直角坐标系中， 为坐标原点，两定点 满足 ，O,AB| 2OAB则点集 所表示的区域面积为| ,|1,PABR_.例 3、如图，在扇形 中， ， 为弧 上不与 重合的一个动点，OAB06CAB,，若 存在最大值，则 的取值范围为_.Cxyuxy()跟踪练习：在正方形 中， 为 中点， 为以 为直径的半圆弧上任意一点，ABCDEPAB设 ，则 的最小值为_.ExyP2xy【强化训练】1、在正六边形 中， 是三角形 内（包括边界）的动点，设ABCDEFPCDE，则 的取值范围_.

9、Pxyxy2、如图，在平行四边形 中， 为 边的三等份点， 为 的交点，AB,MNS,AB为边 上的一动点， 为 内一点（含边界） ，若 ，则PQSPQxMy的取值范围_.xy7 / 83、设 分别是 的边 ， 上的点， ， ，若,DEABC12ADB23EC（ 为实数） ，则 的值为_.1212,14、梯形 中， ， ， ， 为三角形 内一点（包ABCDAB1DC3ABPBCD括边界） ， ，则 的取值范围_.Pxyxy5、已知 ， ，点 在 内，且 ，设|1,|3OAB0OABCAOB03C，则 的值为_.Cmn6、在正方形 中， 为 中点， 为以 为圆心， 为半径的圆弧上的任意一ABCD

10、EABPAB点，设 ，则 的最小值为_.xyxy7、已知 ， 为实数） 。若 为以 为直角顶|1OMN (,PxOMyNxPMN点的直角三角形，则 取值的集合为_y8、平面内有三个向量 ，其中 夹角为 ， 的夹角为 ，,OABC,AOB012,AOC03且 ， ，若 ，则 的值为|1A|23mnn_。8 / 8BDOAC9、如图， 是圆 上的三点， 的延长线与线段 的延长线交于圆 外的点 ，,ABCOCBAO若 ，则 的取值范围为_。mnn10、已知 为 的外心，若 ， ，且OABC(0,)2,AB21,3ACB，则 =_.11、已知 是两个互相垂直的单位向量，且 ，则对任意的正实数 ，,ab 1cab t的最小值为_.1|ct