有关解析几何的经典结论.doc

1、 第 1 页，共 8 页有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切,2点弦 P1P2的直线方程是 .02xy7. 椭圆 (ab0)的

2、左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点xya，则椭圆的焦点角形的面积为 .12F12tanPSb8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：xy, ( , ).1|Me20|ex1)Fc2(,0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M

3、 为 AB 的中点，则xyab),(0yx，2OMABk即 。02yaxK12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)P21b.022xxab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)y2yab第 2 页，共 8 页.202xyab二、双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

4、P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方0(,)xy21xyb0P程是 .021ab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条0(,)Pxy2xy切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .021xyab7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任2b意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , xy (0)2(,)当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|Fexa当 在左支上时， ,09. 设

5、过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 ABxyb ),(0yx的中点，则 ，即 。02xKABOM 02yaxbAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的0(,)Pxy1yb方程是 .2002

6、xa第 3 页，共 8 页13. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方0(,)Pxy21xyb程是 .202ab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的21xy1(0)Aa2()直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .1xb2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直2xyab0(,)y线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxka3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 21xy, ，

7、则 .12F21Ftant2co4. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆2xy上任意一点，在PF 1F2中，记 , , ，则有12P1212FP.sincea5. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当21xy0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，21xy则 ,当且仅当 三点共线时，等号成211|2|aAFPF2,P立.7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是2200()()xyab0AxBy

8、C.2 2ABx第 4 页，共 8 页8. 已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且21xy.（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为OPQ221|ab;（3） 的最小值是 .24abOPS9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦21xyMN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平21y分线与 x 轴相交于点 , 则 .()x220babx11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦21ya点记 ，则

9、(1) .(2) .12F212|cosPF12tanPFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，2xyab, , ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有PAB(1) .(2) .(3) .2|cos| 2tn12cotPABabS13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点21xyalE的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 ACFClCx经过线段 EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭

10、圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 第 5 页，共 8 页（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线 （a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y21xyb1(0)Aa2()轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .21xb2. 过双曲线 （a0,bo）上任一点

11、任意作两条倾斜角互2xyb0(,)xy补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxka3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,21xybF1, F 2是焦点, , ，则 （或12F21Ptant2cco）.tantcco4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）21xyb为双曲线上任意一点，在PF 1F2中，记 , ,12P12P，则有 .12FPsin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为21xybL，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF

12、1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为双曲线2xyb内一定点，则 ,当且仅当 三点共线且 和1|AFPF2,P第 6 页，共 8 页在 y 轴同侧时，等号成立.2,AF7. 双曲线 （a0,b0）与直线 有公共点的充要21xb0AxByC条件是 .2BC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动2y点，且 .OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最小值为 ;（3）221|24ab的最小值是 .OPQSab9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支

13、于21xyM,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的21xyb垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或 .()x20ab20abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 221yb为其焦点记 ，则(1) .(2) 12F212|cosbPF.12cotPFS12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的2xyb一点， , , ，c、e 分别是双曲线的半焦距BA离心率，则有(1) .2|cos|(2) .(3) .2tan1e2

14、cotPABabS13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双2xyblE曲线右焦点 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且FCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BCx14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.第 7 页，共 8 页15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴

15、交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 21122ABkxyk2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。3、知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线)与直线 垂直的直线可表示为 。4、两平行线 间的距离为 。5、若直线 与直线 平行则 （斜率）且 （在 轴上截距） （充要条件）6、圆的一般方程： ，特别提醒：只有当时，方程 才表示圆心为 ，半径为的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是 且 且 。第 8 页，共 8 页7、圆的参数方程： （ 为参数），其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；8、 为直径端点的圆方程切线长：过圆 （ ）外一点 所引圆的切线的长为 （ ）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解： ；过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当 时，方程 为两圆公共弦所在直线方程.。