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1、2-1 过程检测技术及仪表习题参考答案 第二章 测量误差与数据处理 1-1 测量某物体的质量 8 次，测量列为： 236.45， 236.37， 236.51， 236.34， 236.39， 236.48，236.47， 236.40（ g），试求测量列的算术平均值和标准偏差。 解 ：采用表格形式进行运算 i xi vi Vi 2 1 236.45 0.011 0.000121 2 236.37 0.069 0.004761 3 236.51 0.071 0.005041 4 236.34 0.099 0.009801 5 236.39 0.049 0.002401 5 236.48 0.0

2、41 0.001681 7 236.47 0.031 0.000961 8 236.40 0.0039 0.001521 439.236x vi2 0.026288 g0 6 1 3.0180 2 6 2 8 8.0v1n 1sn1i2i 1-2 已知某仪器测量长度的标准偏差为 0.005mm，（ l）若用该仪器对某轴径测量 1 次，测量值为 26.2025mm，试写出 测量结果；（ 2）若对轴径重复测量 10 次，测量列为 26.2025， 26.2028，26.2028， 26.2025， 26.2026， 26.2022， 26.2023， 26.2025， 26.2026， 26.20

3、22（ mm），试写出测量结果；（ 3）若未知该仪器测量的标准偏差值，试写出（ 2）问的测量结果。 解： （ 1）取单次测量值为测量结果， mm202526xm . 已知测量列的标准偏差为测量结果的精密度参数，即 0050. 取置信概率 p 0.9973，按正态分布，置信因子 Z 3， 测量不确定度 0 1 500 0 503ZU . 测量结果写为 9 9 7 30pmm015020226Uxx m . （ 2）取测量值的算术平均值为测量结果， mm202526x . 测量值算术平均值的标准偏差为测量结果的精密度参数，即 0 0 1 5 80100 0 50nx . 取置信概率 p 0.997

4、3，按正态分布，置信因子 Z 3， 测量不确定度 004700 0 1 5 803ZU . 2-2 测量结果写为 99 730pmm005020226Uxx . （ 3）采用表格形式进行运算，计算测量值的算术平均值和测量列的标准偏差 i xi vi Vi 2 1 26.2025 0.0000 0.00000000 26.2028 0.0003 0.00000009 26.2028 0.0003 0.00000009 26.2025 0.0000 0.00000000 26.2026 0.0001 0.00000001 26.2022 0.0003 0.00000009 26.2023 0.00

5、02 0.00000004 26.2025 0.0000 0.00000000 26.2026 0.0001 0.00000001 26.2022 0.0003 0.00000009 2025.26x vi2 0.00000042 测量列的标准偏差 mm0 0 0 2 1 6.01100 0 0 0 0 0 4 2.0s 以算术平均值的标准偏差作为测量结果的精密度参数 0 0 0 0 6 8 3.0100 0 0 2 1 6.0nss x 取置信概率 p=0.99，自由度 10 1 9，按 t 分布确定置信因子，查表得 24983tZ . 测量不确定度 mm0 0 0 2 200 0 0 0

6、6 8 302 4 9 83ZU . 测量结果写为 990pmm00020202526x . 1-3 对某压力容器的压力进行九次等精度测量，测量列为： 1.47， 1.50， l.52， 1.48， 1.55，1.46， 1.49， 1.51， 1.50（ MPa）。试判断，该组测量是否存在系统误差？ 解： 采用表格形式进行数据 处理（见下页）。 计算算术平均值 MPa498.1x 用贝塞尔公式估算测量列标准偏差，得 0273.019005956.0s （ 1）残余误差校核法： n 9，则 k 5。 2-3 03.0v51i i ， 02.0v95i i ， 95i i51i i 001.00

7、2.003.0vv由此可判断测量列无累积性系统误差。 i xi vi Vi 2 Si SiSi+1 vivi+1 1 1.47 0.028 0.000784 1 1 0.000056 2 1.50 0.002 0.000004 1 1 0.000044 3 1.52 0.022 0.000484 1 1 0.000396 4 1.48 0.018 0.000324 1 1 0.000936 5 1.55 0.052 0.002704 1 1 0.001976 6 1.46 0.038 0.001444 1 1 0.000304 7 1.49 0.008 0.000064 1 1 0.00009

8、6 8 1.51 0.012 0.000144 1 1 0.000024 9 1.50 0.002 0.000004 1 0.005956 1 2 （ 2）统计检验法 误差正负号个数检验准则 误差为正号的有 5 个，为负号的有 4 个，统计量 1SS n1i i ， 692n2S 限差，限差SS ，故可认为不存在系统误差。 误差正负号分配检验准则 相邻两误差同号的有 3 个，相邻两误差异号的有 5 个，统计量 2SSW1i1n1i i ，66.51921n2W 限差 ， 限差WW ，故可认为不存在系统误差。 误差数值总和检验准则 统计量 002.0vD n1i i ， 1 6 4.00 2 7

9、 3.092sn2D 限差，限差DD，故可认为不存 在系统误差。 正误差平方和与负误差平方和之差检验准则 正 误 差 平 方 和 为 0.003340 ， 负 误 差 平 方 和 为 0.002616 ，统计量,0 0 0 7 2 4.00 0 2 6 1 6.00 0 3 3 4 0.0SK n1i ii 00894.00273.094sn4K 22 限差 ， 限差KK ，故可认为不存在系统误差。 阿贝 赫梅特检验准则 2-4 统计量 0 0 3 0 8 8.0vvC1i1n1i i ， 0 0 2 1 0 8.00 2 7 3.019s1nC 22 限差，限差CC，故可认为存在系统误差，且

10、为周期性系统误差。 综合以上，可认为存在系统误差，且为周期性系统误差。 1-4 对某工件的厚度进行了 15 次重复测量，测量列为： 28.53， 28.52， 28.50， 28.52， 28.53，28.53， 28.50， 28.49， 28.49， 28.51， 28.53， 28.52， 28.49， 28.40， 28.50（ mm），若测量已消除系统误差，试判断，该列测得值中是否含有粗大误差？ 解： 采用表格形式进行运算。 i xi vi vi2 vi vi2 1 28.53 0.026 0.000676 0.019 0.000361 2 28.52 0.016 0.000256

11、0.009 0.000081 3 28.50 0.004 0.000016 0.011 0.000121 4 28.52 0.016 0.000256 0.009 0.000081 5 28.53 0.026 0.000676 0.019 0.000361 6 28.53 0.026 0.000676 0.019 0.000361 7 28.50 0.004 0.000016 0.011 0.000121 8 28.49 0.014 0.000196 0.021 0.000441 9 28.49 0.014 0.000196 0.021 0.000441 10 28.51 0.006 0.00

12、0036 0.001 0.000001 11 28.53 0.026 0.000676 0.019 0.000361 12 28.52 0.016 0.000256 0.009 0.000081 13 28.49 0.014 0.000196 0.021 0.000441 14 28.40 0.104 0.010816 15 28.50 0.004 0.000016 0.011 0.000121 0.014960 0.003374 计算 xi 的算术平均值和标准偏差 504.28x 0 3 2 7.01150 1 4 9 6 0.0v1n 1sn1i2i 取定置信水平 0.05，根据测量次数

13、n 15 查出相应的格拉布斯临界系数 g0（ n，） 2.41，计算格拉布斯鉴别值 g0（ n，） s 2.41 0.0327 0.0788 将各测量值的残余误差 vi 与格拉布斯鉴别值相比较，有 v14 0.104 0.0788，故可判定 v14为粗大误差， x14 28.40 为坏值应予剔除。 剔除 x14后，重新计算测量列的标准偏差。 511.28x 2-5 0161.0114003374.0v1n 1sn1i2i 取定置信水平 0.05，根据测量次数 n 14 查出相应的格拉布斯临界系数 g0（ n， ） 2.37，计算格拉布斯鉴别值 g0（ n，） s 2.37 0.0161 0.0

14、382 将各测量值的残余误差 vi 与格拉布斯鉴别值相比较，所有残余误差 vi 的绝对值均小于格拉布斯鉴别值，故已无坏值。 至此，判别结束，全部测量值中仅有 x14为坏值，予以剔除。 1-5 将下列各数按化整原则分别截取到百分位和千分位： ;3;2 ， 6.378501， 5.6235， 4.51050， 7.51051， 13.50047， 2.1496， 1.37851 解： 截取 到百分位 截取到千分位 截取到百分位 截取到千分位 2 1.41 1.414 3 1.73 1.732 3.14 3.142 6.378501 6.38 6.379 5.6235 5.62 5.624 4.51

15、050 4.51 4.510 7.51051 7.51 7.511 13.50047 13.50 13.500 2.1496 2.15 2.150 1.37851 1.38 1.379 1-6 为求长方体的体积 V，先直接测量各边的边长 a、 b、 c，然后进行计算测量结果。 直接测量各边边长所得的测得值分别为： a 161.8mm， b 44.5mm， c 11.2mm；各测得值的系统误差分别为： a 1.2mm， b 0.8mm， c 0.5mm；各测得值的标准偏差分别为： a 0.5mm， b 0.3mm， c 0.2mm，试求长方体的体积 V 及其系统误差 V和标准偏差 V。 解： 计

16、算长方体的体积 34 mm10064.812.806412.115.448.161abcV 计算各传递系数 4.4 9 82.115.44bcaV 1 8 1 22.118.1 6 1acbV 7 2 0 05.448.161abcV 计算长方体体积的系统误差 3cbaV mm56485.072008.018122.14.498cVbVaV 计算长方体体积的标准偏差 2-6 32222222c22b22a2Vmm15592.072003.018125.04.498cVbVaV 1-7 某一量 u 由 x 和 y 之和求得， x 是由 16 次测量的算术平均值得出，其测量列标准偏差为 0.2（单

17、位略）； y 是由 25 次测量的算术平均值得出，其测量列标准偏差为 0.3（单位略），试求 u 的标准偏差。 解： yxu 1xu ， 1yu05.0162.0nss xxx ， 06.0253.0nssyyy 078.006.005.0syusxus 222y22x2u 1-8 测量电阻上消耗的电功率 P，可以先通过直接测量电阻值 R、电阻上的电压降 U 及通过电阻的电流 I，然后按下面三个式于中的一个来计算电功率：（ 1） P IU；（ 2） P I2R；（ 3） P U2 R。若 I、 R、 U 的测量相对不确定度分别为： rI 2.5； rR l.0； rU 2.0试选择一种最好的测

18、量方案。 解： 先计算各种方案电功率 P 的测量相对不确定度 rP，然后进行比较。 IUP IP，IUP2U22I22U22I2P UIUUUUPUIPU 002002002U2I2U2I22U22I2PP2.30.25.2rrUUIUIU UIUUPUr RIP 2 IR2IP ，R2R42I222R22I2P UIURI4URPUIPU 2-7 002002002R2I2R2I222U42I22PP1.50.15.24rr4RUIU4RIUIURI4PUr RUP 2 RU2UP ，22RURP 2R442I222R22U2P URUURU4URPUUPU 002002002R2U2R2U

19、222R442U22PP1.40.10.24rr4RUUU4RUURUURU4PUr将三种方案电功率 P 的测量相对不确定度 rP 进行比较，第一种方案电功率 P 的测量相对不确定度 rP 最小，因此可以认为第一种方案是最佳测量方案。 1-9 从支点到重心的长度为 L 的单摆，其振动周期 T 为 gL2T 现通过直接测量 L 和 T，根据上式间接测量重力加速度 g，若要求测量 g 的相对标准差 g g0.1，试问测量 L 和 T 的相对标准差应是多少？ 解：这是一个间接测量误差分 配的问题。 22T L4g 22T4Lg 32T L8Tg 按等作用原理分配。 2-8 0000gg22ggL 0

20、71.021.02gg2LT42LLg2L 0000gg32ggT 035.0221.022gg22TTL82TTg2T 即对测量摆长度 L 的相对标准差要求为 0.071%，对测量振动周期 T 的相对标准差要求为0.035%。 1-10 某数字电压表在其说明书上指出：“该表在校准后的两年内，其 2V 量程的测量误差不超过（ 14 10-6读数 1 10-6量程） V”。在该表校准一年后，用该数字电压表对标称值为1V 的电压源进行 16 次重复测量，得测量值的算术平均值为 0.92847V，并根据测量值用贝塞尔公式算得测量列的标准差为 36 V。试对测量不确定度做出评定，并给出测量结果。 解：

21、（ 1）分析和评定各标准不确定度分量 有两个不确定 度分量：由示值误差引起的不确定度分量；由多次重复测量引起的不确定度分量。 对于采用 B 类评定。示值误差为 a（ 14 10-6 1 1 10-6 2） V 16 10-6 V 可视作均匀分布，则标准不确定度分量为 V24.9V1024.9310163au 661 因给出的示值误差的数据很可靠，故取 u1 u1 0，其自由 度 1。 对于采用 A 类评定。由 16 次测量的数据，用贝塞尔法计算测量列标准差得 =36 V，平均值的标准差 V81636v 则由多次重复测量引起的标准不确定度为 V8u v2 其自由度 2 n 1 15。 （ 2）标

22、准不确定度合成 因标准不确定度分量 u1、 u2 相互独立，则相关系数 0，得合成标准不确定度为 V2.12824.9uuu 222221c 计算其自由度 2-9 8115824.92.12uuu4442421414c （ 3）求扩展不确定度 取置信概率 p=95，即显著水平 0.05，由自由度 81 查 t 分布表得 t （） 1.995，即包含因子 k 1.995。于是，测量的扩展不确定度为 V3.242.129 9 5.1kuU c （ 4）多次重复测量，以算术平均值作为测量结果的估计值。 16 次测量值的算术平均值 v0.92847V。 （ 5）给出测量结果 用合成标准不确定度评定电压

23、测量的不确定度，则测量结果为 V（ 0.928470 0.000012） V 用扩展不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为 V（ 0.928470 0.000024） V， p=0.95， k=1.995 1-11 电容式位移传感器的位移 x 与输出电压 u 的一组测量数据如下： xi mm 1 5 10 15 20 25 ui V 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 试求出回归方程，并进行方差分析和显著性检验。 解 ：为确定两变量间的函数关系，根据数据在坐标纸上描出散点图。从散点图上可以看出，位移 x 与输出电压 u 大致成线性关系。 由

24、此可得到回归方程的形式为 xaau 10 式中 a0、 a1 为回归方程的回归系数。 为求得正则方程组，将测量数据及相应的计算列成下面的表格。 i x u x2 u2 xu 1 1 0.1051 1 0.01104601 0.1051 2 5 0.5262 25 0.27688644 2.6310 3 10 1.0521 100 1.10691441 10.5210 4 15 1.5775 225 2.48850625 23.6625 5 20 2.1031 400 4.42302961 42.0620 6 25 2.6287 625 6.91006369 65.7175 76 7.9927

25、1376 15.21644641 144.6991 再按下表形式进行计算 2-10 xi 76 ui 7.9927 66712676 .xn1x n1i i 3 3 2169 9 2 77uu .n1 n 1i ii xi2 1376 ui2 15.21644641 xiui 144.6991 667962nx 2i . 10.647nu 2i 241101n ux ii .Lxx 413.333 Luu 4.569 Lxu 43.458 1 0 53 3 34 1 34 3 .4 5 8u .0.LLa xxx1 0 0 1 9 706671210503321xau 1 .a 0 由此可得回

26、归方程为 u a0 a1x=0.00197 0.105x 作回归方程的方差分析：求残余标准偏差 s 0 3 8026 4 5 8431 0 505 6 9422 uuu .n LaLn Qs x1 作回归方程的显著性检验：计算 x 与 u 的相关系数 9 9 905 6 943 3 34 1 3 4 5 843uuuuu uu . .LLLL La xx xx1x 取定的显著水平 =1 p=0.01，自由度 n 2 6 2 4，查 t 分布表得 2nt 4.6041，求相关系数的临界值 9 1 7 2066 0 4 14 6 0 4 14 2 .2. .2n2nt 2nt2 临界临界 ux ，表示 x 与 u 之间存在线性关系。