数学本数理金融学作业布置及参考答案.doc

1、作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1 ，4.2 教材 p68 第 6,7 题请参考 4.3,4.4 解法作业八：贝塔系数与证券定价（一）4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是 11%，标准差是 0.18，且市场组合的期望收益是 15%。假定资本资产定价模型有效。如果一个证券与市场组合的相关系数是 0.30、标准差是 0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为 ,(1)pMXrX由题意知， ()4%,0.5MpE所以， ，()ppMrr%(15)0.6MpMp0.186,3mmp0.34.20

2、jpj由资本市场线 CML 方程得:()()5%0.419jMjEXrEXr4.2 设无风险利率为 6%，市场组合的期望收益是 15%，方差为 0.04.证劵 与市场组合的相j关系数是 0.45，方差是 0.16。根据资本资产定价模型，证券 的期望收益是多少？j解：设 为证券 j 的收益率，由题意知，jX2()15%,6,/0.45.2/04.9MmjjmEr由 CAPM 模型： 得：()()jfjMfEXr()0.914.%jX4.3 假设证券的市场价值为 40 美元，证券的期望收益率为 13%，无风险利率为 7%，市场风险溢价 为 8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产

3、组()MEr-合收益率的协方差是原来的 2 倍，试求证券在当前的价值。4.3 解：设此证券为 由证券市场线方程 ，pX()()pMpEXrEXrb-=-可知 8%1376,0.75p Mpbb=-因为 ,当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的 2 倍cov()arpMMpXb=时， ,则21.5p(7%1.589E=+=收益 ,原来的 2 倍时， ,0()43.DP 21.5Mppb0092/7.3EXPA=4.4 假设证券的市场价值为 60 美元，证券的期望收益率为 15%，无风险利率为 7%，市场风险溢价 为 8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组()Mr

4、-合收益率的协方差是原来的 2 倍，试求证券在当前的价值。4.4 解：设此证券为 由证券市场线方程 ，可知pX()()pMpEXrEXrb-=-8%,1.0pbb=因为 ,当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的 2 倍cov()arpMM时， 。此时证券的期望收益率为：2.2.pp=，而收益 D=6015%=9.由股票价()()7%823MEXEXrb=+-+=格=股票收益/收益率=9/23% =39.13第九次作业作业九 CAPM 公式及其应用一、名词解释1 证券市场线；2.资本市场线1.证券市场线是指对任意资产组合 ,由点 所形成的轨迹.证券市场线pXM(,)pPEXb方程为：

5、 .其中 为资产组合 的()()pMpEXrErb-=- 2cov,/Ms=pX市场 系数， 为无风险利率.它是过无风险资产对应的点 和市场资产组合对应的beta (0)r点 的一条直线.(1,)M2.资本市场线是由所有有效资产组合 所对应的点 所形成的轨迹.pX(),(PXEs资本市场线的方程为： ()()PMErErs=+-二、选择题1.资本资产定价模型中，风险是通过（ B ）度量的A个别风险 B.贝塔系数 C.收益标准差 D.收益的方差10.已知无风险收益率和市场组合期望收益率分别为 0.06 和 0.12，根据 CAPM 模型，贝塔系数为 1.2 的证券 X 的期望收益率是（ ）A.

6、0.06 B. 0.144， C. 0.12 D. 0.132解： 6%,()12,).,fMprEXb=由 CAPM 模型： 得()pfMfrEXr().(6)3.%0.12j2.CAPM 模型是 1964 年由（ D ）提出的A.Makowitz B.Linter C.Ross D.Sharpe12.如果无风险利率 则资产组合 的 值等于多6,()14,()18,fMprEX=pXb少？A. -1.5 B. 1， C. 1.5 D 2解：由 CAPM 模型： 得：()()pfpMfrr18%646,.5p3.（ D ）风险可以通过资产组合多样化来消除？A. 预想到的风险 B. 系统性风险，

7、 C.市场风险 D 非系统性风险4.证券的系统性风险可以用（ A ）来度量。A. 系数 B. 相关系数， C. 收益率的标准差 D 收益率的方差。5.设当前无风险利率 ，市场组合收益率的均值和标准差分别为6%fr=()0.1,.20MEXs=如果某股票的收益率与市场组合收益率的协方差为 0.05 则该股票的期望收益率等于（ ） 。A. 10% B. 11%， C. 12% D 9%解：设该股票为 ，则jX2cov(,).51.204jmjM由 CAPM 模型： 得：()jfjfErEXr()6%1.2506)1%j三、计算题1.建立资产组合时有以下两个机会：（1）无风险资产收益率为12；（2）

8、风险资产收益率为 30，标准差 0.4。如果投资者资产组合的标准差为 0.30，则这一资产组合的收益率为多少？解：运用 CML 方程式 PMFFPR)E(R)E(%.%)(P 5230.413212.假定无风险利率为 6，市场收益率为 16，股票 A 当日售价为 25 元，在年末将支付每股 0.5 元的红利，其贝塔值为 1.2，请预期股票 A 在年末的售价是多少？解： %.)(%R(ER)EFMiFi 182616E(P 1)=29.)P250作业十：期权价值的计算（单期）1.某个股票现价为 40 美元。已知在 1 个月后，股票价格为 42 美元或 38 美元。无风险年利率为 12%（连续复利

9、） 。请用无套利原理说明，执行价格为 39 美元的 1 个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为 39 美元的 1 个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.参考答案：1.解：股票的价格二叉树模型为：0424,1%,/2138ufdqSSrA第 1 步：从股票二叉图得到风险中性概率 . q由无套利原理知： 0.12/438(1)e=+-从 (.)2()q-我们得到 所以 2.4384=-0.6q第 2 步：对衍生产品价值 和 求平均.uCd(1)执行价格为 39 美元的 1 个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0310udqCA

10、看涨期权的价格为：011.83()072.qA（ 美 元 ）=+-=(2)执行价格 K=39 美元的看跌期权的二叉树模型为：，所以看跌期权的价格为：01udqCPA010.4()1396.qA（ 美 元 ）=+-=（3） ，rSKe0.1.964.396,.7824.rPCee2.某个股票现价为 50 美元。已知在两个月后，股票价格为 53 美元或 48 美元。无风险年利率为 10%（连续复利） 。请用无套利原理说明， （1）执行价格为 49 美元的 2 个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为 49 美元的 2 个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌

11、期权之间的平价关系.2.解：股票的价格二叉树模型为： 0535,10%,/6148ufdqSSrA第 1 步：从股票二叉图得到风险中性概率 . q由无套利原理知： 0.1/65348(1)eq=+-从 (/)()q-我们得到 所17/65348q=-以 ./第 2 步：对衍生产品价值 和 求平均.uCd(3)执行价格为 49 美元的 2 个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0410udqCA看涨期权的价格为：0113.6/4()02.36/CqA（ 美 元 ）=+-=(4)执行价格 K=49 美元的看跌期权的二叉树模型为：，所以看跌期权的价格为：01udPqA06602.(1)461qA（

12、 美 元 ）=+-=（3） ，rSCKe0.4265.426,PS0.1/.9.34960/12.348.9650.2rCKee作业十一：期权价值的计算（2）单期3. 某个股票现价为 80 美元。已知在 4 个月后，股票价格为 75 美元或 85 美元。无风险年利率为 6%（连续复利） 。请用无套利原理说明， （1）执行价格为 80 美元的 4 个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为 80 美元的 4 个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.3 解：股票的价格二叉树模型为： 0858,6%,1/317ufdqSSrA第 1 步：从股

13、票二叉图得到风险中性概率 . q由无套利原理知： 0.61/3857(1)eq=+-从 80.2)857(1)q=+-我们得到 所以 6.8571q=-0.6q=第 2 步：对衍生产品价值 和 求平均.uCd（2） 执行价格为 80 美元的 4 个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0510udqCA看涨期权的价格为：013.5()025.21qA（ 美 元 ）=+-=（3） 执行价格 K=80 美元的看跌期权的二叉树模型为：，所以看跌期权的价格为：015udqCPA011.7()56.202qA（ 美 元 ）=+-=（3） ，rSKe0.21.678.,3.83478.1.rPSCe4股票

14、现在的价值为 50 元。一年后，它的价值可能是 55 元或 40 元。一年期利率为 4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为 48 美元，另一种执行价为 53 美元。我们也希望为一种执行价为 45 元的看跌期权定价。问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。4.解：股票的价格二叉树模型为： 055,4%,110ufdqSSrA第 1 步：从股票二叉树得到风险中性概率 q由无套利原理知： 1.04540(1)=+-从 ,得到 ,所以, 52()q=+-25q=120.85q=第 2 步：对衍生产品价值 和 求平均uCd(1) 执行价格为 48 美元的 1 年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0710udqCA看涨期权的价格为：015.67()038.414qA（ 美 元 ）=+-=(2) 执行价格为 53 美元的 1 年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：看涨期权的价格为：0210udqCA11.6(0.82)5440A（ 美 元 ）=+=(3) 执行价格为 45 美元的 1 年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：，看跌期权的价格为：0015udqCA011.0(.25)96.44A（ 美 元 ）=+=