关于发散级数的性质及其应用【毕业设计】.doc

1、（20届）本科毕业设计关于发散级数的性质及其应用THEPROPERTIESANDAPPLICATIONOFDIVERGENTSERIES所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月2关于发散级数的性质及其应用【摘要】从级数的概念出发，讨论级数的收敛和发散。并着重讨论发散级数，介绍发散级数的性质，由发散级数的病态介绍发散级数的求和以及在现实中具有重大意义的渐近级数，发散级数的各种求和方法也会涉及。讲述渐近级数与收敛级数的区别，函数的渐近展开也会涉及。并由现实意义举出几个例子，阐述渐近级数的应用，由于渐近级数大部分是发散级数，由此可见发散级数其实大有用处，并不是级数的禁区。【

2、关键词】级数；发散级数；渐近级数。THEPROPERTIESANDAPPLICATIONOFDIVERGENTSERIES【ABSTRACT】CLEARTHECONCEPTOFSERIESTODISCUSSASERIESDIVERGEORCONVERGE。THEEMPHSISISDIVERGENTSERIESANDSPECIALPROPERTIESOFDIVERGENTSERIES。ASYMPTOTICSERIESISMEANINGFULINREALITY，ITISDIVERSEFORTHESUMOFDIVERGENTSERIES。ELABORATETHEDIFFERENCEOFASYMPTO

3、TICSERIESANDCONVERGENTSERIES，ASYMPTOTICEXPANSIONOFSOMEFUNCTIONISMENTIONED。GIVESOMEEXAMPLEFORREALSTICSIGNIFICANCE，ELABORATETHEAPPLICATIONOFASYMPTOTICSERIES。SINCEMOSTASYMPTOMICSERIESISDIVERGENT，ITISOBVIOUSTHATDIVERGENTSERIESISIMPORTANTANDUSEFUL。DIVERGENTSERIESISNOTTHEFORBIDDENAREAOFSERIES。【KEYWORDS】SE

4、RIES；DIVERGENTSERIES；ASYMPTOMICSERIES3目录1级数和发散级数411对级数的思考412级数613级数的发散与收敛714发散级数72渐近级数921渐近级数的定义922渐近级数与收敛级数103发散级数求和1031发散级数求和的意义1032各种意义下的求和114渐近级数的应用1441求傅里叶级数的和1442近似计算1643解微分方程17参考文献17致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。41级数和发散级数11对级数的思考级数研究的是一系列数学元素构成的序列，它的元素和的性质、应用、与其他数学分支的联系三方面的内容。数学元素包括常数、函数两类。我认为，常数项级数是将我

5、们在中学就学到的数列扩展到无穷项后的探究；而函数项级数是基于“将非初等函数或者复杂的初等函数转化为初等函数或者简单的初等函数。”这一课题的分析。同济五版的无穷级数部分对常数项级数的介绍，首先是用“割圆法”这个经典的以“无穷分割”作圆的内接正多边形的方法求圆面积过程的例子引出级数和无穷级数的概念，将无穷级数形式上定义为“无穷个量相加的表达式”，既而正如当初数学家们从模糊的对“自变量的无穷变化过程中，因变量的趋近值“的认识中得出极限的精确定义一样，为无穷级数作出精确的定义用到了极限的概念，从而将无穷级数定义为“无穷序列的有穷部分，它的元素和的极限。”书本上将它简称为“部分和的极限”，这种将不可直观

6、认识的无穷概念化归到有穷领域来研究的手段在数学中真是不可胜数。既然化到了有穷序列的研究上来，实际上，就是转化到了研究数列和的问题上来了，研究它的什么问题呢研究这个和在N趋向于无穷时的情形。下面就是数列、极限分支下的有关知识，拍马上阵了。所以，数学中的化归思想很重要，其中包含着类比联想和求同存异的认识方法，历史上的大数学家大多在这方面做出了卓有成效的贡献。好了，回到常数项级数的问题上来。既然引出了极限的概念，就必然要探讨一个敛散性的问题。这个大问题又包含了三个方面的小问题，分别是一、什么叫一个级数收敛（或发散二、如何判定一个级数是收敛的（或发散的）三、一个收敛的级数具有什么性质（对于发散级数不加

7、探讨）。什么叫一个级数收敛就是在N变化向无穷的过程中，级数趋于一个固定的常数，即级数的部分和极限存在，发散当然就是极限不存在啦。如何判定一个级数是收敛的（或发散的）这是要学习的主要内容也是重要内容，教材中介绍了比较审敛法和比较审敛法的极限形式，比较对象是级数的一般项，比较内容是两个级数，它们的一般项的大小，比较能够得出的结论是一般项大的级数如果收敛，则小的也收敛。而要判断发散只需要写出上述命题的逆否形式即可，就是“一般项小的级数如果发散，则大的也发散。”这是容易理解的，大敛小敛，小5散大散，我自己拟了上面这个口诀，应该还是好记的。再而是比较审敛法的一个推论，讲到当N大于某一个自然数之后，将两个

8、一般项中的一个乘以大于零的常实数，还是符合“大敛小敛，小散大散”，这个推论用到了收敛级数的一个性质，就是级数逐项乘以一个相同常实数，敛散性不改变。最后是比较审敛法的极限形式，这里其实是结合到了极限内容里面的无穷小阶数比较，它的证明用到了“数列极限与比极限高阶的无穷小之和等于数列通项。”的知识和上面的推论。这个方法，我概括为两个同阶无穷小的一般项，一个可以确定收敛（或发散），另一个可以随之确定收敛（或发散）；两个非同阶无穷小的一般项，若低阶的收敛，则高阶的也收敛，既而是它的逆否形式，若高阶的发散，则低阶的也发散。应该讲的还清楚吧。接着讲到“比值审敛法”、“根值审敛法”、“极限审敛法”。其中“比值

9、审敛法”和“根值审敛法”是将一般级数与等比级数做比较得出来的相关方法。“比值审敛法”具体做法是求级数的后项与前项的比值的绝对值当N趋向无穷时的极限值，若这个极限值小于1，则级数收敛；若这个极限值大于1或者等于无穷，则级数发散；若这个极限值等于1，则敛散性待定。“根值审敛法”的具体做法是将级数的一般项开N次方根，求当N趋向无穷时的极限值，小于1则收敛；大于1或等于无穷则发散；等于1则敛散性待定。“极限审敛法”是将一般级数与P级数做比较得出来的相关方法。其中，因为调和级数是P级数的特殊情形，而且调和级数是发散的，因此取当N趋于无穷，级数一般项与调和级数一般项比值的极限，若极限值大于零或者等于无穷大

10、，则可判定此级数发散，这个和上面“比较审敛法的极限形式”的思想异曲同工，也是在比较无穷小的阶数关系，极限值大于零，表明此级数是与调和级数同阶的无穷小（注在N趋于无穷的过程中，后文省略），因为调和级数发散，所以此级数发散；极限值等于无穷大，表明此级数是比调和级数低阶的无穷小，因为较之高阶的调和级数发散，所以此级数发散。接着是一般情形，P级数，级数一般项与P级数一般项的比值的极限，因为P级数当P1时是收敛级数，所以在P1的条件下，当此级数一般项若是与P级数同阶的无穷小或者比P级数高阶的无穷小时，此级数收敛。纵观以上，可见对无穷级数的研究大多转化为了极限和数列知识的运用。另一个忘了要提醒的是，以上研

11、究的常数项级数都是正项级数。收敛级数还有一个必要条件，就是收敛级数的一般项的极限为零，它的逆否形式是一般项极限不为零，级数必发散，而它的逆命题“一般项极限为零，级数收敛。”并不成立，这也说明，一般项极限为零不是级数收敛的充分条件。级数收敛的充要条件要用到“柯西审敛原理”，它的证明用到了“数列的柯西审敛原理”，定义形式是“N”，与极限的精确定义属于同一类。另外还有收敛级数的几条性质对于级数的运算和证明是很有用的。除了上面提到的“收敛6逐项乘以同一常数，敛散性不变，和为原来的常数倍。”，还有“两个收敛级数可以逐项相加减。”，“级数加上、去掉或改变有限项，敛散性不改变。”“对收敛级数的项任意加括号所

12、形成的级数，仍然收敛，和也不变。”三条性质，反映了对无穷对象的有穷形式操作，不改变无穷对象的本质特性。正常数项级数是无穷级数的简单领域，但是无穷级数后续概念的基础。无穷级数部分既而简单的讲到常数项级数的交错形式和一般形式，其中交错级数用“莱布尼茨定理”来审敛，具体表述为级数前项大于后项，一般项的极限为零，则交错级数收敛，并且和小于首项，N的余项的绝对值小于N1项的值。既而讨论一般的级数，在这里给出了两个概念“绝对收敛”和“条件收敛”，给出定理“级数绝对收敛则收敛。”，“绝对收敛”是指原级数各项的绝对值组成的新级数收敛，而如果原级数收敛，加绝对值后发散，则称原级数“条件收敛”。这个定理给出了一个

13、很重要的信息即可将一般级数的审敛转化为正项级数的审敛。同时要指出的是，这个定理的否命题，即“一个级数正项化级数发散，这个级数也发散。”并不总是成立，但可以结合正项级数的“比值审敛法”和“根值审敛法”中1的情形，由正项化级数发散可推知级数发散。12级数如果给定一个数列1U,2U,NU,则由这个数列构成的表达式1U2U,NU叫做常数项无穷级数,简称常数项级数,记为1NU,1NU1U2U,NU111上述级数只是形式上的定义,我们可以从有限项的和处罚,观察他们的变化趋势,由此理解无穷多个数量相加的含义作级数111的前N项和NS1U2U,NU,NS称为级数的部分和,当N依次取1,2,3,时,它们构成一个

14、新的数列1S1U,2S1U2U,3S1U2U3U,NS1U2U,NU,根据这个数列有无极限,我们可以引进无穷级数的收敛与发散概念713级数的发散与收敛如果级数1NU的部分和数列NS有极限S,即LIMNNSS,则称无穷级数1NU收敛,并称极限S叫做此级数的和,记为S1U2U,NU,如果NS没有极限,则级数没有和,并称级数1NU发散级数的发散与收敛在数学分析中有着重要作用,因此判断一个级数是收敛还是发散就显得相当重要由于本文是讨论发散级数的性质,因此这些并不做详细讨论14发散级数对于无穷级数来说,收敛级数显得是那么的完美,无穷多的量最后收敛成一个量,而发散级数呢,依然是无穷多,不可解析对于发散级数

15、，一千种不同的求和方法会导致一千个不同的答案。例如，在发散级数1111中抽出任意N个正1，让剩下的无穷多个正、负1相互抵消,其答案即为N。用类似的方法也可让答案变为任意的负整数N。1755年欧拉利用幂级数公式1XX2X31/1X，将上述求和的结果断言为分数1/2。发散级数曾经迷倒过许多数学家。它们喜爱它们的原因可能与爱看不幸的悲剧故事如出一辙当一个童话讲到“从此他们过上了幸福的生活”时，就收敛了一切，什么也没的可讲了。柯西、WEIERSTRASS等人正是这个童话故事的终结者。柯西在他那套有名的分析教程里，引进了无穷级数的前N项部分和的概念，把无穷级数的收敛问题归结为当时已知的（由部分和组成的）

16、数列收敛性问题，然后叙述并证明了级数收敛的一些特殊的判断法则。年轻的阿贝尔大概是柯西最忠实的信徒，他和柯西站在一起坚定地反对使用发散级数。阿贝尔在1826年从巴黎写信给他原先的老师HOLMBOE说“发散级数是魔鬼的发明。把不管什么样的任何证明建立在发散级数的基础之上都是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论，而这也是发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因。然而，仍有一些数学家并不买柯西禁令的帐，他们发觉发散级数在处理象微分方程那样的问题时太有用了（事实上，柯西本人有时也会忍不住用一下发散级数，为此他还写过一篇文章论发散级数的合理运用）。彭加莱在考虑天文问题的过程中更离不了

17、发散级数。他力图弄清楚这里面什么东西是有意义的，以及具有何种数学意义，于是在1886年发明了渐近级数的概念（STIELTJES几乎同时独立地研究了这个问题）。当然，渐近级数不是用来求无穷和式之值的（柯西、WEIERSTRASS不允许你这么干），但8至少你可以利用它的有限的部分和来对某个函数行为进行近似的估计，而且其误差是得到控制的（误差大致上是所仍掉的无穷多项中的第一项）。现今，渐近级数在奇异摄动理论、组合数学（包括费曼图）等等领域中的应用取得了巨大的成功。事情并未到此结束。1895年，有个名不见经传的毛头小伙糊里糊涂地闯入了禁地，开始考虑起发散渐近级数的求和问题。这家伙觉着自己找到了问题的答

18、案，就冒昧地跑到当时复分析领域中赫赫有名的大人物、WEIERSTRASS的得意门生MITTAGLEFFLER那儿去拜山。MITTAGLEFFLER和颜悦色地听着小伙子叙述其方法和结果，听完后脸色突然一整，庄严地把手按在WEIERSTRASS的全集上，用拉丁文说“THEMASTERFORBIDSIT”。这个倒霉的、满脸沮丧的小伙名叫波莱尔（BOREL）。波莱尔的工作最终得到了数学界的承认。现在，他的这项发明已经成为处理发散渐近级数的标准方法，在文献中被人称为波莱尔可和性、波莱尔变换，或者波莱尔求和法。这也是量子场论（和弦理论）里，从微扰级数（费曼图）展开中追寻非微扰效应的行之有效的解析手段。那些

19、做构造性（CONSTRUCTIVE）量子场论的人，象CANNON，GLIMM，JAFFE，SIMON等，更是玩这种方法玩到熟得一塌糊涂。正如彭加莱已经知道的那样，一旦某个函数给定，其渐近展开也就唯一确定了。函数在某点处的渐近展开其实就是它在该点附近的泰勒级数。波莱尔所关心的是这个问题的逆如果已知某点附近的一个泰勒级数，能不能把它的“原函数”唯一地确定下来（若能做到这一点，那么原则上这个渐近级数的“和”就已经给求出来了，尽管此级数本身可能发散，即其收敛半径为零。）波莱尔很快发现这一般是行不通的。一个反例是函数FXEXP1/X2，若考虑它在X0的邻域里的泰勒级数，你会发现其各项展开系数永远是零换句

20、话说，当一个渐近展开的各项系数都为零时，它的“原函数”完全不能唯一地定下来，你不能武断地认定原函数必然由“微扰论的结果”FX0给出，因为这样就会丢失其他所有可能的“非微扰项”，如FXEXP1/X2，FXEXP3/X2，FXEXP1/X4，等等。当然，类似的分析也适用于那些具有非零系数的泰勒展开。结论是光给定一点附近的泰勒级数是无法唯一确定其原函数的。为了得到唯一性，你至少还得知道该原函数的某些解析）行为。波莱尔可和理论中的重要工具是所谓的“卡了门判据”（CARLEMANSCRITERION，其叙述及其证明可在WRUDIN的REALANDCOMPLEXANALYSIS教本中找到，该书有中译本；也

21、可参考REED和SIMON的名著METHODSOFMORDERNMATHEMATICALPHYSICS第四卷）。利用这个判据能够容易地导出一类发散级数的可和性条件，大致描述如下。设复函数FZ在某个含有正实轴、角度比P/2稍大的扇形区域内解析，并在该区域上连续。如果存在常数A，B使得FZ的第N项渐近展开系数满足不等式|AN|ABNN，那么FZ由它的渐近级数唯一地确定。换句话说，若GZ与FZ有同样的渐近级数并且也满足前述解析性条件，则FZGZ。9唯一性保证了用任何（哪怕是下三烂）手段折腾出来的结果必定是问题的正确答案。波莱尔的方法是，既然渐近展开FZA0A1ZA2Z2的系数AN增长不超过N，我们可

22、以构造一个具有非零收敛半径的无穷级数A0/0A1Z/1A2Z2/2，并把它在收敛圆中的“原函数”FZ求出来。然后，将FZT对变量T作拉普拉斯变换得另一个函数GZ。容易看出GZ与FZ满足相同的可和性条件并有相同的渐近展开，因此FZGZ，这样就求出了发散级数的和。当然，此过程不会丢失任何“非微扰效应。假如系数AN的增长超过了N，比方说AN2N，问题就麻烦了，我们将有一个波莱尔不可和的发散级数，它的“原函数”无法用上述办法来求（形式上求得的函数不再有好的解析性质）。非微扰的信息在这种渐近级数中必然丢失。象YANGMILLS理论中的大N展开、弦理论中的微扰展开都属于这类情形。此时，渐近级数本身不足以提

23、供相应理论的完备描述，“微扰论”以外的知识就成为必不可少的东西了。那么，如何才能获得这些知识回到尔斯泰麻烦的理论各有各的麻烦。并且发散级数求和的实际作用也越来越受到重视。到了19世纪，由于分析中注入了严密化，数学家不敢再使用稍不严格的理论，他们逐渐接受了发散级数的禁令，并把它们弃于合法的数学之外。然而发散级数确实有实际作用，纵然它在数学上是不合法的，但人们还在继续用它，并在这里探讨数学理论。发散级数的主要用途是计算积分和解微分方程。2渐近级数21渐近级数的定义渐近级数的概念是由POINCARE和STIELTJES于1866年建立起来的，但是在此以前，这类级数已被用于计算积分和求解微分方程。正如

24、POINCARE所描述的那样“在这世纪初已认为要断然从严密数学中驱逐出去的那些级数，在这世纪末又重敲接纳之门，这确实是我们科学的一个奇怪的变迁，从这一变迁，我们又一次看到，应用数学工作者决不能拘泥于一切旧框框，而要大胆地接受已经显示出有用的任何思想和方法，这样才能推陈出新建立新的理论。在当时发散级数被遗弃的时候，这些数学家仍然坚持着工作，这是数学的魅力和幸运。对已标准函数系N（X）,满足N1XON（X）,意思就是N1X是N（X）的高阶小量，F（X）可以表示为NN1NNNFXCXO（X）（211）那么我们称1NNNCX为函数FX的N项渐近级数或渐近展开，记为101122CCNNFXXXCX（）（

25、212）对于有可列个标准函数的情况。对于任意大小的N，上式都成立，那么我们就得到了无穷渐近展开1NNNFXCX，但是我们可以选择不同的渐近序列，所以同一个函数可以有不同的渐近展开。同样地，不同的额函数可以有相同的渐近展开。如果渐近级数的标准函数序列是幂函数，我们就称它为渐近幂级数，我们看到，渐近级数往往是发散的。22渐近级数与收敛级数那么渐近级数和收敛级数到底有什么区别呢渐近级数与收敛级数的区别（1）收敛级数X固定，N项部分和当N趋于无穷大时有极限FX；渐近级数N固定，N项部分和当X趋于X0时有极限FX；（2）收敛级数函数与级数的部分和之差的绝对误差趋于零；渐近级数函数与级数的部分和之差的相对

26、误差趋于零；（3）收敛级数级数的项当N趋于无穷大时一定趋于零；渐近级数级数的项当N增大时不一定趋于零渐近级数经常是发散的从实用意义上讲，我们只要相对误差小就可以了，这就可以保证有一定的有效数字。收敛级数的项，当N充分大以后，总要趋于零的；发散的渐近级数，往往后面的项会逐步增大，总起来说，我们在计算时所关心的事近似值与准确值的误差或余项的大小，对于渐近级数来说，它是最后一项的高阶量，因此它可以有效地用来作近似计算，并优于收敛级数求和的方法。渐近级数其实在数学分析中就已经有了，比如著名的STIRLING公式2NNNNNE，实际上，它是下述渐近级数的头几项2211011LNLNLN222212NKK

27、NNNNKKN，其中2N0是BERNOULLI数，可用递推公式计算。后面会介绍渐近级数的应用。3发散级数求和31发散级数求和的意义在科学研究的开始阶段，由于受到生产力发展，人的认识水平与数学工具的限制，人们往往仅局限于线性问题。也就是说，叠加原理适用的那一类问题，经过三百年的发展，对这类问题已经有一系列非常成熟的方法了。即使如此，也只是对于一些理想化的问题才能获得11少量的精确解。在这些精确解中，还有相当一部分是用级数积分，特殊函数表达的。研究人员为了要从中得到一些有用的科学结论，工程师为了要吧结果用于具体的工程设计，就必须要依靠近似方法计算出具体的数值来，这就是渐近分析的任务。在非线性领域中

28、，还出现了许多线性问题中所没有发现的新现象解对振幅的依赖关系；解的畸变；间断和孤立子出现；唯一性的破坏和对称的破缺；内在随机性等等。在这一领域中，由于叠加原理不适用了，原先那一套数学方法失效了，我们必须寻找新的途径。渐近方法中的奇异摄动理论是解决弱非线性问题行之有效的手段之一。这些都和渐近级数和发散级数有关系。从前面的介绍我们习惯性地认为，级数和就是部分和的极限，这样一个概念是根深蒂固的。所以对于什么是渐近级数，什么是发散级数的和这些东西都难以理解，因此我们必须学会接受新的概念。但是又不能擅自杜撰概念，只是在原来的概念上加以延拓。，也就是说，在新的定义下，收敛级数的和必须是和原先定义的和相一致

29、，这种求和法，我们称为正则的，这样的和我们叫广义和。对于原先的收敛级数的和是由有限个数的和的概念扩充而得的，对发散级数当然就不能定义成这种意义的和。发散级数出现在数学的许多分支中，并且很有用处，所以显然需要对于发散级数定义相应的“和”，或者使它们能与依照某种规则计算出来的量相对应。求和法的正则性法则的正则性是指法则应使得收敛级数都是可求和的，并且求的冠以和应与原来定义的和相承袭。在现实问题中，我们应用各种方法得到了物理问题的渐近解，为了解决实际的工程问题，必须进行求和的计算。通常，由于计算的困难，一般只求出二、三项，这在小（或大）参数时是较准确的，但当参数适中时，收敛变慢，甚至发散或近似度变差

30、。因此，我们要通过分析其起点的位置和性质，提出改进级数的措施，加快收敛速度，扩大级数解的使用范围。这些都是离不开发散级数求和的。32各种意义下的求和设级数为0A，1A，2A，NA,并设其部分和为NS0A1A2ANA（I）齐查罗第一次求和1NS0S1S2SNS,1NC11NSN12当N时，若1NC收敛于常数S，则称S为级数的齐查罗第一次总和，记为NASC,1,并称相应的求和法为齐查罗第1次求和法，记为C,1比如级数1111,该级数部分和2KS1，21KS0，则12KSK1,121KSK1,12KC12KK,121KC121KK,于是1NC1/2,因此11111/2C,1,实际上，从莱布尼兹时代开

31、始，就已经取1/2作此振动级数的和。当时欧拉认为这种做法的理由是在展开式2345111XXXXXX中用1代替X（II）齐查罗第R次求和级数1234没有齐查罗第一次求和，这是因为2KSK1,21KSK112KSK1,121KS012KC121KK,121KC0从而1NC不收敛。在齐查罗第1次求和法的基础上，我们取2211130122,NNNNNSSSSSC3322230133,NNNNNSSSSSC11101,RRRRRRNNNNNRRSSSSSC，当N时，如果RNC收敛于常数S，则称S为级数的第R次齐查罗总和，记为NA,SCR，并称相应的求和法为齐查罗第R次求和法，记为C,R,并且如果级数NA

32、可求C,R总和，则LIMNRNAN0，又若LIMRNRNSN存在，则级数NA可求C,R总和。III赫尔德求和法01111NNHSSSN21110111HHHHN131110111RRRRNNHHHHN如果LIMRNNHS，则称S为级数的第R次赫尔德总和，记为NAS（H，R），并称相应的求和法为赫尔德第R次求和法，记为（H，R）。（IV）阿贝尔求和法设幂级数0NNNNAX当丨X丨0，易知F（X）在，上一致连续，因此当丨T丨0，总存在于X无关的自然数N，当NN时，对于一切的X均有丨1NCXFX丨2这就说明傅里叶级数可求齐查罗和。42近似计算进行近似计算是渐近级数的重要作用。下面介绍利用渐近级数计算

33、自然数的倒数之和。设F（Z）1/1Z，令MN1（N为自然数），则有1120111111/123122NBCZDZNNN即有122411111LN23224BBCNNNNN11N2211122NNNBNNB421在上式中令N1,可得311211224622NNNBBBBCN0，这个C即是欧拉常数。（由上式可以计算出它的具有任何精确度的值，其中6位小数的值为C0577216）现在利用（421）计算11/21/100。这时，丨2299MBNN41106017610510所以11/21/10005772162LN102121002100B518738再比如求1111231000000精确到00001的

34、值同上个例子一样，先去M3，得313201111111/2223144BCDZZ173271113511357122242222644BB由于后面的项的绝对值小于748101610,现在我们可以利用3237201111115112842314244BBCDZZ来计算常数C，并且可以得到C056569，再取M6101，由于丨1311221000000B丨251091010因此可以得到11112310000001998565243解微分方程解方程0DYABYBDXX假设方程的解为Y1202AAAXX代入所给方程，得312120234232AAAAAABAXXXXXX于是得101220,AAAAAA

35、BBB，332AAB，443AAB，因此，微分方程的解为23111123AYBXBXBXBX参考文献1杨禄源幂级数与渐近级数M长沙国防科技大学出版社20012李家春周显初数学物理中的渐近方法M长沙科学出版社19983戴世强渐近分析系列讲座R上海上海大学上海市应用数学和力学研究所20044颜士龙调和级数仍是一个发散级数J山东山东商业职业技术学院20085蒋晓云调和级数悖论剖析J广西桂林师专数学与计算机科学系2008186陈文生关于无穷级数求和的研究及其应用J黑龙江大庆师范学院报20107张慧既发散又收敛的无穷级数J陕西陕西科技大学学报20048余文卿一些发散级数的求和法R台湾国立中正学数学系9EDWARDCHLEBUSANPROXIMATEFORMULAFORAPARTIALSUMOFDIVERGENTPSERIESUSADEPARTMENTOFCOMPUTERSCIENCE,LLLINIOSINSTITUTEOFTECHNOLOGY200810SLSKOROKHODOVADVANCEDTECHNIQUESFORCOMPUTINGDIVERGENTSERIESRUSSIARUSSIAACADEMYOFSCIENCE2003