概率论与数理统计试题.docx

1、 1 概率论与数理统计复习大纲 一、 概率论的基本概念 内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念和基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考点 1掌握事件的关系及运算 2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（ Bayes）公式等 3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算 二、随机变量及其分布 内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量

2、函数的分布 考点 1理解随机变量的概念，理解分布函数 ( ) ( )F x P X x x 的概念及性质，掌握与随机变量相联系的事件的概率计算方法 2理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握 0 1分布、二项分布 ( , )Bnp 、泊松（ Poisson分布 3理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握均匀分布 ( , )Uab 、正态分布 2( , )N 、指数分布，其中参数为 ( 0 ) ( 1 / ) 注 ： 此 时的指数分布 ()E 的概率密度为 () 00xefx x 若 x0若 4掌握离散型随机变量函数的分布律求法，掌握连续型随机变量函数的概率密度求法 (分布函数法

3、和单调函数下的公式法 ) 三、多维随机变量及其分布 内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布、条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度、条件概率密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个随机变量的函数的分布 考点 1理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握二维随机变量的边缘分布（离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计算） 2理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的判别方法，理解随机变量的不相关性与独立性的关系 3. 掌握与二维随机变量相联系的事件的概率计算方法 . 4掌握由两

4、个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律方法 ,会根据两个连续型随机变量的联合概率密度求其函数的概率密度 5. 会计算二维随机变量分量的条件分布 . 四、随机变量的数字特征 内容 随机变量的数学期望（均值）方差及其性质 随机变量函数的数学期望协方差、相关系数及其性质 考点 1 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的期望、方差 2掌握随机变量及其函数的数学期望求法 3. 利用协方差或相关系数判别随机变量是否不相关 . 五、大数定律及中心极限定理 考点 1. 掌握切比雪夫不等式的表达 2. 了解大数定律和中心极限定理内

5、容 . 六样本及抽样分布 2 内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 2 分布 t 分布 分位点 正态总体的常用抽样分布 考点 1了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211 ()1 n iiS X Xn 2了解产生 2 变量、 t 变量的典型模式；了解标准正态分布、 2 分布、 t 分布的上侧 分位点 . 3掌握单个正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布（定理 1-3） ,了解两个正态总体均值差和方差比的抽样分布（定理 4） . 七、参数估计 内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 区间估计 考

6、点 1了解参数的点估计、估计量与估计值的概念 2掌握矩估计法和最大似然估计法 3. 掌握估计量的无偏性和有效的概念并会做出判断 . 4. 掌握单个正态总体均值和方差的双侧置信区间求法 . 5. 了解单个正态总体均值和方差的单侧置信区间求法，了解两个正态总体均值差、方差比的置信区间求法 . 八、假设检验 内容 原假设 备择假设 检验统计量 否定域 检验水平 显著性 两类错误 考点 1. 了解假设检验的两类错误 . 2. 掌握单个正态总体方差已知和未知两种情况下关于均值的双边检验，了解对应问题的单边检验 3. 掌握单个正态总体方差的双边检验，了解该问题的单边检验 4. 了解两个正态总体均值差和方差

7、比的假设检验 . 5. 知道假设检验和参数区间估计的对偶关系 . 概率论与数理统计复习知识点 第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 样本点：随机试验的每一个可能结果，用 表示；样本空间：样本点的全集，用 表示； 注：样本空间不唯一 .随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用 A,B,C,表示； 必然事件就等于样本空间；不可能事件 () 是不包含任何样本点的空集； 基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 包含关系： AB ，事件 A 发生必有事件 B发生； 等价关系： AB ， 事件 A 发生必有事件 B发生，且事件 B发生必有事

8、件 A 发生； 互不相容（互斥）： AB ，事件 A与事件 B一定不会同时发生。 互逆关系（对立）： A ，事件 A 发生事件 A 必不发生，反之也成立；互逆满足 AAAA 3 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3. 事件的三大运算 事件的并： AB ，事件 A 与事件 B至少有一个发生。若 AB ，则 A B A B ； 事件的交： A B AB 或 ，事件 A与事件 B 都发生； 事件的差： -AB，事件 A发生且事件 B不发生。 4. 事件的运算规律交换律： ,A B B A A B B A 结合律： ( ) ( ) , ( ) (

9、 )A B C A B C A B C A B C 分配律： ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )A B C A B A C A B C A B A C 德摩根 （ De Morgan） 定律 ,A B ABAB A B对于 n个事件，有 1111,nniiiinniiiiAAAA二、随机事件的概率定义和性质 1公理化定义 ：设试验的样本空间为 ，对于任一随机事件 ),( AA 都有确定的实值 P(A)，满足下列性质： (1) 非负性： ;0)( AP (2) 规范性： ;1)( P (3)有限可加性 (概率加法公式 )：对于 k个互不相容事件 kAAA , 21 ，有 ki i

10、ki i APAP 11 )()(. 则称 P(A)为随机事件 A的概率 . 2 概 率 的 性 质 ( ) 1, ( ) 0PP ( ) 1 ( )P A P A 若 AB ，则( ) ( ) , ( ) ( ) ( )P A P B P B A P B P A 且 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C 注：性质的逆命题不一定成立的 . 如 若 ),()( BPAP 则 BA 。（）若 0)( AP ，则 A 。

11、（） 三、古典概型的概率计算 古典概型 ：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点 , 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型 , ()kPAn 。 典型例题： 设一批产品共 N件，其中有 M 件次品，从这批产品中随机抽取 n 件样品，则 (1)在放回抽样的方式下 , 取出的 n件样品中恰好有 m件次品（不妨设事件 A1）的概率为 .)()(1 n mnmmn N MNMCAP (2)在不放回抽样的方式下 , 取出的 n件样品中恰好有 m 件次品（不妨设事件 A2）的概率为 nNmn MNmMmn A AACAP )( 2 .nNmn MNMCCC四、条件概率及其三大公式 1.条

12、件概率： ( ) ( )( | ) , ( | )( ) ( )P A B P A BP B A P A BP A P B4 2.乘法公式： 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A B P A P B A P B P A BP A A A P A P A A P A A A P A A A 4.全概率公式：若12, , , , ,nn i i jiB B B B B B i j 满 足，则1( ) ( ) ( | )niiiP A P B P A B 。 5. 贝 叶 斯 公 式 ：

13、 若 事 件 12, , , nB B B A和 如 全 概 率 公 式 所 述 ， 且 (A) 0P ，1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii niiiP B P A BP B AP B P A B 则 . 五、事件的独立 1. 定义： ( ) ( ) ( ) ,P A B P A P B若 则 称 A,B 独 立. 推广：若 12, , , nA A A 相互独立， 11( ) ( ) ( )nnP A A P A P A 2. 在 , , , , , , ,A B A B A B A B四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。 3. 三个事件 A, B, C 两两独

14、立： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P AB P A P BP BC P B P CP AC P A P C注： n 个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立 两两独立，反之不成立。） 4.伯努利概型： ( ) , 0 ,1 , 2 , , , 1 .k k n knnP k C p q k n q p 第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的定义 设样本空间为 ，变量 )(XX 为定义在 上的单值实值函数，则称 X 为随机变量， 通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。 二、 分布函数及其性质 三、 1. 定义：设随机变量 X ，对于任意实数 x

15、R ，函数 ( ) F x P X x称为随机变量 X 的概率分布函数，简称分布函数。 注：当 21 xx 时， )( 21 xXxP )()( 12 xFxF .)()( xx ii xpxF(1)X 是离散随机变量，并有概率函数 ,2,1),( ixp i 则有 (2) X 连续随机变量，并有概率密度 f (x)，则 dttfxXPxF x )()()(2. 分布函数性质：（ 1） F(x)是单调非减函数，即对于任意 x1x2，有 );()( 21 xFxF ； （ 2） 1)(0 xF ；且 1)(lim)(0)(lim)( xFFxFF xx ，； （ 3）离散随机变量 X， F (x

16、)是右连续函数 , 即 )0()( xFxF ； 连续随机变量 X， F (x)在（ -， +）上处处连续。 注：一个函数若满足上述 3 个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。 5 三、离散随机变量及其分布 1. 定义 . 设随机变量 X 只能取得有限个数值 nxxx , 21 ，或可列无穷多个数值 , 21 nxxx 且 ),2,1()( ipxXP ii ，则称 X为离散随机变量 ,pi(i=1,2, )为 X的 概率分布，或概率函数 (分布律 ).注：概率函数 pi的性质 : ;,2,1,0)1( ipi 1)2( i ip 2. 几种常见的离散随机变量的分布： 3. （ 1）超几何分

17、布， XH(N,M,n)， 0 , 1 , 2 , ,k n kM N MnNCCP X k k nC （ 2）二项分布， XB(n.,p)， ( ) (1 ) 0 ,1 , ,k k n knP X k C p p k n 当 n=1 时称 X 服从参数为 p的两点分布（或 0 1 分布）。 若 Xi(i=1,2, ,n)服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。 （ 3）泊松 (Poisson)分布， ( )XP ， ( 0 ) , 0 , 1 , 2 , . . . !k eP X k kk 四、连续随机变量及其分布 1.定义 .若随机变量 X 的取值范围是某个实数区间 I，

18、且存在非负函数 f(x)，使得对于任意区间 Iba ,( ，有 ,)()( ba dxxfbXaP则称 X 为连续随机变量 ; 函数 f (x)称为连续随机变量 X 的 概率密度函数， 简称 概率密度 。注 1：连续随机变量 X 任取某一确定值的 0x 概率等于 0, 即 ;0)( 0 xXP 注 2： )()()( 212121 xXxPxXxPxXxP 21 )()( 21xx dxxfxXxP 2. 概率密度 f (x)的性质： 性质 1： ;0)( xf 性质 2： .1)( dxxf注 1：一个函数若满足上述 2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注 2：当 21 xx 时

19、， )( 21 xXxP )()( 12 xFxF 21 )(xx dxxf 且在 f(x)的连续点 x 处，有 ).()( xfxF 3.几种常见的连续随机变量的分布： .,1 ;,;,0)(01)(bx bxaabax axxFbxaabxf 其它，(1) 均 匀 分 布 ( , )X U a b ， (2) 指 数 分 布 ( )Xe , 0 .0,0 ,0,1)(00 0)( xxexFxxexf xx ， ，(3) 正态分布 ),( 2NX ， 0 xdtexFexf x tx ,2 1)(2 1)( 2 22 2 2 )(2 )( ， 第三章 随机变量的数字特征 6 一、期望（或均

20、值） 1定义： ,EX1,( ) ,kkk xpEXxf x d x 离 散 型连 续 型2期望的性质： ( 1 ) ( ) , (E C C C为 常 数 )( 2 ) E ( C X ) = C E ( X )( 3 ) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )(4) 若 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 E(XY)=E(X)E(Y), 反 之 结 论 不 成 立 .3. 随机变量函数的数学期望 1 ( ) , ( ) kkk g x p XE g xX +-离 散 型g(x)f(x)dx ， 连 续 型4. 计算数学期望的方法 (1) 利用数学期望的定义； (2) 利用数

21、学期望的性质； 常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和 ,再利用期望性质求得 X 的期望 .(3)利用常见分布的期望； 二、方差 1方差 连续型离散型,)()(,)()()(222dxxfXExpXExXEXEXD i i 注： D(X)=EX-E(X)2 0； 它 反映了随机变量 X 取值分散的程度 ,如果 D(X)值越大 (小 )，表示 X取值越分散 (集中 )。 2方差的性质 ( 1 ) ( ) 0 , (D C C2为 常 数 )( 2 ) D ( C X ) = C D ( X )(3) 若 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 D

22、( X Y ) = D ( X ) + D ( Y )(4) 对于任意实数 C R，有 E ( X-C )2 D( X )当且仅当 C = E(X)时 , E ( X-C )2取得最小值 D(X). (5) (切比雪夫不等式 ):设 X的数学期望 E(X) 与方差 D(X) 存在 ,对于任意的正数 ， 有 ( ( ) )P | X - E X | 2().DX 或 ( ( ) )P | X - E X | .2()1-DX 3. 计算 (1) 利用方差定义； (2) 常用计算公式 .)()()( 22 XEXEXD (3) 方差的性质； (4) 常见分布的方差 .注：常见分布的期望与方差 1.

23、 若 X B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;2. 若 ;)()(),( XDXEPX 则 3. 若 X U(a, b), 则 ;12 )()(,2)(E 2abXDbaX 4. 若;1)(,1)(),( 2 XDXEeX 则 5. 若 .)(,)(),( 22 XDXENX 则 三、原点矩与中心矩（总体） X 的 k 阶原点矩： )()( kk XEXv （总体） X 的 k阶中心矩： kk XEXEXu )()( 7 第四章 正态分布 一、正态分布的定义 1. 正态分布 ),( 2NX ，其 概率密度 为 ,21)( 2 22 )( xexf x 其 分布函数 为

24、 x t dtexF 2 22 )(21)( 注：21)( F . 正态密度函数的几何特性： ；对称曲线关于 x)1( ；）（21)(2 取得最大值时，当 xfx ；， 轴为渐近线以时当 xxfx 0)()3( ;212 1)4( 2 22 2 2 )(2 )( dxedxe xx 轴作平移变化.图形不变，只是沿着的大小时，f ( x ) 的改变，当固定 y）（ 5 越大,图形越高越瘦；越小,变，对称轴不变而形状在改的大小时改变，当固定（6 ） xf )(，图形越矮越胖. 2. 标准正态分布 当 1,0 时， ),1,0(NX 其密度函数为 .,21)( 22 xex x 且其分布函数为 .2

25、1)( 22 x t dtex )(x 的性质： )0()1( ;21 ).(1)()3( xx 3.正态分布与标准正态分布的关系 定理：若 ),( 2NX 则 )1,0( NXY . 定理： 设 ),( 2NX 则).()()( 1221 xxxXxP 二、正态分布的数字特征 设 ),( 2NX 则 1. 期望 E(X) dxexXEx 2 22 )(21)(2.方差 D(X) 2 22 )(2 2 2)(2 1)( dxexXDx3.标准差 )(X 三、正态分布的性质 1线性性 . 设 ),( 2NX 则 )0(),( 22 bbbaNbXaY ，； 2可加性 . 设 ),(),( 22

26、yyxx NYNX 且 X和 Y相互独立，则 );,( 22 yxyxNYXZ 2121)()2( 22 22 dxedxe xx8 3线性组合性 设 niNX iii ,2,1),( 2 ，且相互独立，则 ).,(12211 ni iini iini ii ccNXc 四、中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量 , 21 nXXX 相互独立，服从相同的分布，且 ;,2,1,)(,)( 2 niXDXE ii 则对于任何实数 x，有 x tdte 222)(21 xnn XPni in1lim 定理解释：若 nXXX , 21 满足上述条件， ，充分大 时当 n 有 （ 1 ）

27、)1,0(* ANYn nn Xni i 1 ； ),()2( 21* nnANXY ni in ；（ 3 ）),(1 21 nANXnX ni i 2. 棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理 设 ),( pnBYn 则 x t dte 2 22 )(2 1 xpnp npYP nn )-(1lim定理解释：若 ),( pnBYn当 n充分大时，有（ 1） )1,0()1( ANpnp npY n ；（ 2） )1(,( pnpnpANY n 第五章 数理统计的基本知识 一、总体 个体 样本 1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体 ).它是一个随机变量，记 X. 2.个体 ：总体中每个研究对象

28、称为个体 .即每一个可能的观察值 . 3.样本 ：从总体 X中，随机地抽取 n个个体 nXXX , 21 , 称为总体 X的容量为 n 的 样本 。 注： 样本 ),( 21 nXXX 是一个 n 维的随机变量； 本书中提到的 样本都是指简单随机样本，其满足 2 个特性： 代表性： nXXX , 21 中每一个与总体 X 有相同的分布 . 独立性： nXXX , 21 是相互独立的随机变量 . 4.样本 ),( 21 nXXX 的联合分布设 总体 X 的分布函数为 F(x)，则样本 ),( 21 nXXX 的联合分布函数为 ),( 21 nxxxF ;)(1ni ixF设总体 X 的概 率密度

29、 函数为 f (x), 则 样本的 联合 密度函 数为),( 21 nxxxf ;)(1ni ixf(2) 设总体 X 的概率函数为 ),2,1,0(),( xxp , 则样本的联合概率函数为9 ;)(),( 121 ni in xpxxxp 二、统计量 1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数 )( n21 ,X,XXg 称为统计量 , ),( 21 nxxxg 是 )( n21 ,X,XXg 的观测值 .注：（ 1）统计量 )( n21 ,X,XXg 是随机变量； （ 2）统计量 )( n21 ,X,XXg 不含总体分布中任何未知参数；（ 3）统计量的分布称为 抽样分布 . 2.

30、常用统计量（ 1）样本矩样本均值 ni iXnX 11 ； 其观测值 ni ixnx 11 .可用于推断：总体均值 E(X). 样本方差 )(11)(11 1 221 22 nini i XnXnXXnS i; 其观测值 ni i xxns 122 )(11 .11122 ni i xnxn可用于推断：总体方差 D(X). 样本标准差 2SS ni i XXn 12)(11 .11122 ni i XnXn 其观测值 2ss ni i xxn 12)(11 .11122 ni i xnxn样本 k 阶原点矩 ),2,1(,11 kXnVnikik其观测值 nikik xnv11 样本 k 阶中

31、心矩),2,1(,)(1 1 kXXnU ni kik其观测值 nikik xxnu1 (1 注：比较样本矩与总体矩，如样本均值 X 和总体均值 E(X)；样本方差 2S 与总体方差 D(X)； 样本 k 阶原点矩 ),2,1(,11 kXnVnikik 与总体 k阶原点矩 ),2,1(),( kXE k ； 样本 k 阶中心矩 ),2,1(,)(11 kXXnUnikik 与总体 k阶原点矩 ),2,1(,)( kXEXE k . 前者是随机变量，后者是常数 . (2)样本矩的性质 :设总体 X的数学期望和方差分别为 2, DXEX ， ,SX 为样本均值、样本方差，则 )(1o XE ;

32、)(2o XD ;1 2n .)(3 22o SE 3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布 . 10 3 大抽样分布 分布2.1 1 定义 .设 kXXX , 21 相互独立，且 kiNX i ,2,1),1,0( ，则 )( 2222212 kXXX k 注：若 ),1,0( NX 则 ).1( 22 X （ 2 ） 性 质 （ 可 加 性 ） 设 2221 和 相 互 独 立 ， 且 ),(),( 22221221 kk 则).( 2122221 kk 2. t分布设 X 与 Y 相互独立 ,且 ),(),1,0( 2 kYNX 则 ).( ktkYXt /注： t 分布的密度图像关于 t

33、=0 对称；当 n充分大时， t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1). 3. F分布 （ 1）定义 . 设 X 与 Y 相互独立，且 ),(),( 2212 kYkX 则 ).,(/ 2121 kkFkY kXF (2) 性质 . 设 ),( 21 k,kXF 则 )(/1 12,kkFX . 四、分位点定义：对于总体 X 和给定的 ),10( 若存在 x ，使得 )( xXP 则称 x 为 X分布的 分位点注：常见分布的分位点表示方法 （ 1） )(2 k 分布的 分位点 );(2 k （ 2） )(kt 分布的 分位点 ),(kt 其性质： );()(1 ktkt （ 3） ),( 21

34、 kkF 分布的 分位点 ),( 21 kkF 其性质 ;),( 1),( 12211 kkFkkF （ 4） N(0,1)分布的 分位点 ,u 有 ),(1)(1)( uuXPuXP 第六章 参数估计 一、点估计 1. 定义 设 ),( 21 nXXX 为来自总体 X 的样本， 为 X 中的未知参数， ),( 21 nxxx 为样本值，构造某个 统计量 ),( 21 nXXX 作为 参数 的估计， 则称 ),( 21 nXXX 为 的点估计 量，),( 21 nxxx 为 的估计值 .2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法 . 二、矩估计法 1.基本思想 : 用样本矩（原点矩或中心矩

35、）代替相应的总体矩 . 2.求总体 X的分布中包含的 m 个未知参数 m , 21 的矩估计步骤： 求出总体矩 ,即 ,2,1,)()( kXEXEXE kk 或 ； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：,2,1,)()(1)(1 11 kXEXEXXnXEXn kni kikni ki 或 解上述方程（或方程组）得到 m , 21 的矩估计量为： miXXX nii ,2,1),( 21 m , 21 的矩估计值为： mixxx nii ,2,1),( 21 3. 矩估计法的优缺点：优点：直观、简单 ; 只须知道总体的矩 ,不须知道总体的分布形式 . 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的