科学和工程计算复习题及答案.doc

1、 1 科学和工程计算基础复习题 一、 填空题 : 1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准 :计算结果的 精度 和得到结果需要付出的 代价 . 2. 计算机计费的主要依据有两项 :一是使用中 央处理器 (CPU) 的时间 , 主要由 算数运算的次数 决定 ;二是占据存储器的空间 ,主要由 使用数据的数量 决定 . 3. 用计算机进行数值计算时 ,所有的函数都必须转化成 算术运算 . 4. 对于某个算法 ,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长 而得不到控制 ,则称该算法是 数值不稳定的 ,否则是 数值稳定的 . 5. 函数求值问题 xfy 的条件数定义为 :)( )()()( xf xfx

2、xfco n dxC 6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限 ; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限 . 7. 方程实根的存在唯一性定理 :设 ,)( baCxf 且 0)()( bfaf ,则至少存在一点 ba, 使 0f .当 xf 在 ba, 上 存在且不变号 时 ,方程在 ba, 内有唯一的实根 . 8. 函数 yxf , 在有界闭区域 D 上对 y 满足 Lipschitz 条件 ,是指对于 D 上的任意一对点 1,yx 和 2,yx 成 立不等式 : 2121 ),(),( yyLyxfyxf .其中常数 L 只依赖于区域 D . 9. 设 niRA inn ,2,1, 为其

3、特征值 ,则称iniA 1max)(为矩阵 A 的谱半径 . 10. 设 1A 存在 ,则称数 AAAcond 1)( 为矩阵 A 的条件数 ,其中 是矩阵的算子范数 . 11. 方程组 fxBx ,对于任意的初始向量 0x 和右端项 f ,迭代法 fxBx kk 1 收敛的充分必要条件是选代矩阵 B 的 谱半径 1)( B . 12. 设被插函数 xf 在闭区间 ba, 上 n 阶导数连续 , xf n 1 在开区间 ba, 上存在 .若niix 0 为 ba, 上的 1n 个互异插值节点 ,并记 ni in xxx 01,则插值多项式 nk knknkn xxx xxfxL 0 11的余项

4、为 )()!1( )()()()( 1)1( xnfxLxfxR nxnnn ,其中 ),()( baxx . 2 13. 若函数组 baCx nkk ,0 满足 lk lklk ,0,0),( k,l=0,1,2, ,n , 则称 nkkx 0 为正交函数序列 . 14. 复化梯形求积公式 banknbfkhafafhfTdxxf 11)()(2)(2)()( ,其余项为 ),(),(12 )( 2 bafhabRnT 15. 复化 Simpson 求积公式 ba nk nkn bfkhafhkafafhfSdxxf 10 11 )()2(2)12(4)(3)()(,其余项为 ),(),(1

5、80 )( )4(4 bafhabRnS 16. 选互异节点 nxxx , 10 为 Gauss 点 , 则 Gauss 型 求积 公 式 的 代 数精 度 为 2n+1 . 17. 如果给定 方法的局部截断误差是 11 pn hOT ,其中 1p 为整数 ,则称该方法是 P 阶的或具有 P 阶精度 . 18. 微分方程的刚性现象是指 快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象 . 19. 迭代 序列 bax kk ,0 终止准则通常采用 11kkkxxx ， 其中的 0 为 相对误差容限 . 20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中 加进阻尼项的目的

6、,是使线性方程组 (牛顿方程 )的系数矩 阵 非奇异并良态 . 二、 选择题 1. 下述哪个条件不是能使 高斯消去法顺利 实现 求解线性代数方程组 ,ij nnAx b A a 的充分条件 ? ( D ) A. 矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零 ; B. A 对 称正定 ; C. A 严格对角占优 ; D. A 的行列式不为零 . 2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的 ? ( B ) A. 313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n . 3 3. 对于任意的初始向是 0x 和右端项 f ,求解线性代数方程组的迭代法 1kkx Bx f 收敛的充

7、分必要条件是 ( A ). A. 1B ; B. 1B ; C. det 0B ; D. B 严格对角占优 . 4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组 ,ij nnAx b A a 的 Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件 ? ( C ) A. A 为严格对角占优阵 ; B. A 为不可约弱对角占优阵 ; C. A 的行列式不为零 ; D. A 为对称正定阵 . 5. 设 2 ,f x C a b ， 并 记 2 maxa x bM f x ， 则 函 数 fx 的过点 , , ,a f a b f b的线性插值余项 1Rx, ,x ab 满足 ( A ). A. 221 8MR

8、 x b a; B. 221 8MR x b a; C. 221 6MR x b a; D. 221 6MR x b a. 6. 设 n x 是在区间 ,ab 上带权 x 的 首项系数非零的 n 次正交多项式 1n ,则n x 的 n 个根 ( A ). A. 都是单实根 ; B. 都是正根 ; C. 有非负的根 ; D. 存在重根 7. Legendre 多项式是 ( )的正交多项式 .( B ) A. 区间 1,1 上带权 211x x ; B. 区间 1,1 上带权 1x ; C. 区间 , 上带权 2xxe ; D. 区间 0,1 上带权 1x 8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法

9、的 Gram 矩阵与 ( D )无关 ? A. 基函数 0nk kx ; B. 自变量序列 0mi ix ; C. 权数 0mi iw ; D. 离散点的函数值 0mi iy . 9. Simpson 求积公式的余项是 ( B ). A. 3 ,12hR f f a b ; B. 5 4 ,90hR f f a b ; C. 2 ,12h b aR f f a b ; D. 4 4 ,90h b aR f f a b 10. n 个互异节点的 Gauss 型求积公式具有 ( D )次代数精确度 . A. n ; B. 1n ; C. 21n ; D. 21n . 4 11. 一阶导数的数值计算

10、公式中 ,中心差商公式的精度为 ( B ). A. Oh; B. 2Oh ; C. 2oh ; D. 32Oh . 12. 对于用插值法建立的数值求导公式 ,通常导数值的精确 度比用插值公式求得的函数值的精度 ( B ). A. 高 ; B, 低 ; C. 相同 ; D. 不可比 . 13. 在常微分方程初值问题的数值解法中 , 梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公式的( A ). A. 算术平均 ; B. 几何平均 ; C. 非等权平均 ; D. 和 . 14. 当 ( B )时 ,求解 ,0yy的显式 Euler 方法是绝对稳定的 . A. 11h ; B. 20h ;

11、C. 01h; D. 22h 15. 求解 ,0yy的经典 R-K 公式的绝对稳定条件是 ( C ): A 20h ; B. 2112hh ; C. 234112 3 ! 4 !h h hh ; D. 221 2 1 2 11 2 1 2hh . 16. 在非线性方程的数值解法中 ,只要 * * *1 , ( )x x x ,那么不管原迭代法 1 , 0 , 1 , 2 ,kkx x k 是否收敛 ,由它构成的 Steffensen 迭代法 的局部收敛的阶是( D )阶 的 . A. 1; B. 0; C. 2 ; D. 2 . 17. 在非线性方程的数值解法中 ,Newton 迭代法 的局部

12、收敛的阶 是 ( D )阶 的 . A. 1; B. 0; C. 2 ; D. 2 . 18. 在非线性方程的数值解法中 ,离散 Newton 迭代法的局部收敛的阶是 ( C )阶的 . A. 1; B. 2 ; C. 152 ; D. 2 . 19. 在求解非线性方程时 ,迭代终止准则通常采用 ( A ),其中的 0 为给定的相对误差容限 . A. 11kkkxxx ; B. 1kkkxxx ; C. 1kkxx ; D. 111kkkxxx . 20. 在求解非线性方程组时 ,加进阻尼项的目的 ,是使线性方程组的 ( C ). A. 系数矩阵非奇异 ; B. 系数矩阵的行列式不等于零 ;

13、C. 系数矩阵非奇异并良态 ; D. 系数矩阵可逆 . 三、 判断题 1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题 .( ) 5 2. 用计算机进行数值计算时 ,所有的函数都必 须转化成算术运算 ;在作加减法时 ,应避免接近的两个数相减 ;在所乘除法时 ,计算结果的精度不会比原始数据的高 .( ) 3. 用计算机作加减法时 ,交换律和结合律成立 .( ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。 ( ) 5. 设 nnBR , 则 lim 0kk B 的充要条件是 B 的谱半径 1B .( ) 6. 若 nnAR ,则一定有 2AB .( ) 7. 求解线性代数方程组 ,当 n 很

14、大时 ,Cholesky 分解法的计算量比 Gauss 消去法大约减少了一半 . ( ) 8. 在用迭代法求解线性代数方程组时 ,若 Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵 ,则 Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛 ,或同时不收敛 ;若同时收敛 ,则 Gauss-Seidel 方法比 Jacobi 方法收敛快 . ( ) 9. 均差 (或差商 )与点列 0, niiix f x 的次序有关 . ( ) 10. 线性 最小二乘法问题的解与所选基函数有关 . ( ) 11. 复化梯形求积公式是 2 阶收敛的 , 复化 Simpson 求积公式是 4 阶收敛的 . ( ) 12.

15、Gauss 求积系数都是正的 . ( ) 13. 在常微分方程初值问题的数值解法中 , 因为梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公式的算术平均 ,而 Euler 公式和隐式 Euler 公式是一阶方法 ,所以梯形公式也是一阶方法 . ( ) 14. 在 Runge-Kutta 法中 , 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的 阶 . ( ) 15. 求解 ,0yy的梯形公式是无条件稳定的 . ( ) 16. 在常微分方程初值问题的数值解法中 , 不论单步法还是多步法 , 隐式公式 比显式公式的稳定性好 . ( ) 17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率 . (

16、) 18. 在一元非线性方程的数值解法中 ,最有效的是 Steffensen迭代法和 Newton迭代法 .前者不需要求导数 ,但不宜推广到多元的情形 ;后者需要求导数 ,但可直接推广到多元方程组 . ( ) 19. 常微分方程边值问题的差分法 ,就是将解空间和微分算子离散化、 组成满足边值条件的差分方程组 ,求解此方程组 ,得到边值问题在节点上函数的近似值 . ( ) 20. 在求解非线性方程组时 ,在一定条件下映内性可保证不动点存在 ,因而也能保证唯一性 . ( ) 四、 线性代数方程组的数值解法 1. 用 高斯消去法求解方程组 bAx ，即 6 1232 1 1 41 3 2 61 2

17、2 5xxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。 353252d et A P65 例 3.2.1 2. 用高斯消去法求解方程组 bAx ，即 1237 1 1 32 4 2 11 1 3 2xxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。 解：方程组的增广矩阵231112423117

18、 第一次消元：消元因子 71,723121 ll，进行消元，得 7177207807171672603117第二次消元：消元因子 13432l，进行消元，得 7 912 1 7911 9 6007171672603117回代得 28311962173 x， 1492 x， 28191x易知 1134710172001L ，91217007167260117U 62912177267d e t A 3. 用高斯消去法求解方程组 bAx ，即 1231 3 3 12 1 1 22 3 4 2xxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2） 列出由此得到的 Dool

19、ittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。 解：方程组增广矩阵243221121331第一次消元：消元因子 2,2 3121 ll ，进行消元，得 023005501331第二次消元：消元因子 5332l，进行消元，得 8 010005501331 回代得 03x ， 02x ， 11x 易知 1532012001L ，100550331U 5151d et A 4. 用高斯消去法求解方程组 bAx ，即 1232 1 1 43 4 2 1 13 2 4 1 1xxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2）

20、 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。 解：方程组增广矩阵11423112434112 第一次消元：消元因子 23,233121 ll，进行消元，得 521121052121104112第二次消元：消元因子 11132 l，进行消元，得 9 116011600052121104112回代得 13x ， 12x ， 31x 易知 1111230123001L ，116000212110112U 6011602112d e t A 5. 用高斯消去法求解方程组 bAx ，即 12341 2 3 4 21 4 9 1

21、6 1 01 8 2 7 6 4 4 41 1 6 8 1 2 5 6 1 9 0xxxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。 解：方程组增广矩阵1902568116144642781101694124321第一次消元：消元 因子 1,1,1 413121 lll ，进行消元，得 10 188252781404260246081262024321第二次消元：消元因子 332l ， 742l ， 进行消元，得 1 3 21 6 83600

22、182460081262024321第三次消元：消元因子 643l ，进行消元，得 2424000182460081262024321回代得 14x ， 13 x ， 12x ， 11 x 易知 1671013100110001L ， 2400024600126204321U 2 8 824621d e t A 6. 用高斯消去法求解方程组 bAx ，即 12341 2 4 1 2 12 8 6 4 5 23 1 0 8 8 7 94 1 2 1 0 6 8 2xxxx （ 1） 列出用增广矩阵 bA, 表示的计算过程及解向量 x ； （ 2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA 中的三角阵 L 和 U ； （ 3） 由 U 计算 Adet 。