顾及垂线偏差影响的大地水准面形状因子拟合方法.doc

1、顾及垂线偏差影响的大地水准面形状因子拟合方法摘要 大地水准面形状由大地水准面差距（简称差距）和垂线偏差两方面的因素共同决定，在拟合以及精化局部大地水准面形状时要将两者统一考虑在内。本文首先研究了大地水准面形状的几何特征，并引入“大地水准面形状因子”的概念，构造了大地水准面形状因子函数及其微分方程，通过解微分方程，得到了由大地水准面形状因子表示的大地水准面模型。理论研究表明：通过拟合大地水准面形状因子所得到的大地水准面模型能够充分的考虑“差距”和“垂线偏差”两方面的形状因素。最后本文将大地水准面形状因子在三围空间的推广做了初步研究。 关键词 大地水准面；大地水准面形状因子；拟合；特征点；垂线偏差

2、 中图分类号：F204 文献标识码： A 1 引言 大地水准面对于大地测量学、海洋测量学和固体地球物理学有着根本的重要性，在大地测量学和海洋学中，大地水准面用作描绘陆地和海面地形的高程参考面，cm 级精度大地水准面的确定仍然是本世纪大地水准面研究的目标1。但是，大地水准面是个不规则的曲面，因为地球表面起伏不平，内部质量分布不均，使得地面各点所受的吸引力大小和方向各不相同，从而引起地面各点铅垂线方向发生不规则变化。于是，处处与铅垂线正交的大地水准面也就随之成为起伏的不规则曲面2。所以大地水准面是个物理曲面，而非数学曲面，这无疑增加了要提高大地水准面的确定精度，要深入研究其形状特征的必要性。同时，

3、大地水准面的形状是由“差距”和垂线偏差两方面共同来描述的，因此在拟合大地水准面时，就不能仅依靠“差距”信息而忽视垂线偏差的影响，或许在平原地区垂线偏差的影响并不显著，但是在局部特殊地区，如高原、山区等地质构造复杂地区，在拟合时就不能不考虑垂线偏差的影响。另外，在某些高精度的工程测量或大地测量中（即使在平原地区） ，要求局部大地水准面的数学方程必须确定的足够精确，这时就必须考虑垂线偏差的微小变化对大地水准面造成的影响。如何将垂线偏差考虑在内，提高局部大地水准面的拟合精度？本文在理论上做了一些探索，给出了一种考虑垂线偏差影响下，提高大地水准面拟合精度的方法。注：具体数据处理将在后续工作中进一步研究

4、。 2 大地水准面形状特征及其形状因子 在拟合局部大地水准面时，不管采用那种方法拟合，比如曲面内插法、多面函数法、多项式拟合法、移动曲面法等等，结点的选取是个关键的问题；尤其是某些特征点，在拟合中起着重要作用，它们甚至直接决定拟合的精度4。例如：多面函数拟合法中就明确指出，已测点结点的选取原则必须是在该测区中具有代表性的特征点，而且是观测量的高精度点。 要研究大地水准面的特征点就要研究大地水准面形状的几何特征。在局部范围内可将大地水准面视为光滑的曲面，因此它可以看成是由有限个形状要素组成。各个形状要素由于其在大地水准面上的位置不同而具有不同的形状信息。总体上，大地水准面的形状要素可以分为两类：

5、一类是具有特征信息的形状要素，即特征点，甚至某些特征线（三维空间） ；另一类是一般要素，例如：一些随机点等。 特征点也就是大地水准面的局部极值点，如顶点、谷点等，在山区这些点会表现的更加明显。这些点不仅能表现出自己的“差距”的有关信息，也能够给予它周围更多的大地水准面形状信息，因而它们具有更多的形状信息内容。如图 1，以二维平面为例，从数学角度分析：A、B为极值点，称其为显著特征点；C 为拐点，即“二阶导数”为零的点。 图.1 Fig.1 为了便于在理论上研究这些点，本文引入大地水准面形状因子的概念。 大地水准面形状因子：指描述大地水准面的几何形状特征并且能在大地水准面各点有直接计算的参数或指

6、标。大地测量学将“差距”和垂线偏差视为是对大地水准面形状的描述，这两个量缺一不可，要将两者结合起来才能完整的描述某一点处的大地水准面形状信息。 如图（2） （=1,2,3）为某局域大地水准面上的一点，为该点的大地水准面差距；为该点的垂线偏差；表示大地水准面形状因子，它是表征某点大地水准面形状特征的量。通过以上分析， 与,之间必然存在某种数学关系，不妨假定与,间的函数关系式为：=;其中“”为某种数学对应法则。同时，考虑到在某个局部范围内，大地水准面和参考椭球面的关系如图 2 所示： 图.2 Fig.2 假设该区的大地水准面起伏较大，且大地水准面足够光滑。图 2 中，（=1,2,3）为大地水准面上

7、任一点， ，为参考椭球面上的两点；且为点沿点的参考椭球面法线方向，为点沿该点的铅垂线方向（铅垂线方向与该点的大地水准面切线方向正交） 。由于铅垂线垂直于该点的大地水准面，因此直线垂直于沿点的大地水准面切线，图中角度即为点处的垂线偏差。由以上分析可得到：=，= 在直角三角形中， = （1） 由于差距（地球半径） ，通常比较小，故上式严格成立。综合上面分析，综合了和的变化特征。不妨令：=，可得到=,即某点处大地水准面形状因子： = （2） 在通常情况下，比较小，但它在数学上是精确的。它的变化规律是对大地水准面形状变化规律的一种综合反映，因此，研究的变化对于研究局部大地水准面的形状特征具有意义，特别

8、是在大地水准面有较大起伏的山区，会有较大值或发生较大变化。可以这样认为:是对大地水准面整体形状特征的微分（局部）描述。 3 大地水准面形状因子在拟合局部大地水准面中的应用 3.1 由大地水准面形状因子确定大地水准面模型的数学方法 由大地水准面形状理论可知：垂线偏差被称作坡度因子，它可反映大地水准面倾斜的趋势和陡峭程度。因此，垂线偏差在确定大地水准面形状时非常重要。如果人们在拟合局部大地水准面时仅是倍加注重“差距”这一形状要素，或者说仅注重提高“差距”的精度而对已知点处垂线偏差所造成的影响重视不足，这样难免会在垂线偏差变化比较大的地区造成大地水准面形状“失真”现象，如图 3 所示。 图 3 中的

9、实线为仅根据“差距”拟合得到的大地水准面模型，但是根据图 3 实线得出的各已知点处的大地水准面形状因子有可能与实际值不符，而真实的大地水准面形状如图虚线所示。这种“不符现象”在差距比较大的山区表现的可能会更加明显。 图.3 Fig.3 因此，若要提高局部大地水准面拟合的精度，避免上述“失真”现象，就要充分的考虑测区中已知节点处的垂线偏差的影响，并且在拟合时， “差距”和垂线偏差这两种形状要素都要考虑。 针对上述问题，本文提出了拟合大地水准面形状因子的方法。因为拟合，然后按照有关公式推导得到的大地水准面模型是两种形状要素即“差距”和垂线偏差均考虑在内，从理论上分析，该方法拟合大地水准面模型的精度

10、和可靠性都比传统的单一拟合法要高。 下面探讨在二维平面内拟合大地水准面形状因子的数学方法。根据大地水准面形状因子的定义以及由天文大地方法确定的垂线偏差公式： , 可得某点处任意方向的大地水准面形状因子公式： （3） 首先考虑二维平面，在此提出如下五点假设： 1、局部区域大地水准面足够光滑； 2、在一个测区内，大地水准面上各点的垂线偏差没有出现显著性的突变异常； 3、大地水准面某点处的铅垂线方向在该点所在子午面内的投影与该点法线相较向北偏斜，垂线偏差：；向南偏斜，垂线偏差：； 4、测区内的已知点处的垂线偏差已知； 5、 “差距”是关于距离（位置坐标）的函数，并且只考虑大地水准面起伏为正的情况。

11、由于在局部范围内， (R 为地球的平均半径)。可将视为处大地水准面模型函数的方向导数。如图 4 所示（考虑二维平面：方向）： （4） 图.4 Fig.4 根据以上假设和理论分析，可以得到大地水准面形状因子连续性的数学模型，写成函数形式为: 其中为的导函数。 即 （5） 上式即为大地水准面形状因子的微分方程。 如果大地水准面形状因子函数的数学表达式为 ，则（5）式可化为：（6） 对方程（6）式两边积分： 可得 （7） 由（7）式可知：要确定实际上就是要确定。在实际中，确定大地水准面方程时， “差距”会出现“正”和“负”两种情况（它们分别表示：大地水准面在参考椭球面“外”和“内” ） 。在一个测区

12、内，如果“差距”出现有“正” 、有“负”的情况时，可以通过调整坐标系的 x 轴，使“差距”全部为“正” 。 即 （8） 对于的确定，根据已知点处的“差距”和垂线偏差计算，可以按照多项式拟合法得到 ，如下考虑 n 次多项式： 将上式带入（8）式，即可得到大地水准面差距的数学模型： 3.2 大地水准面特征点的求解 由于（8）式充分的考虑了垂线偏差在确定大地水准面中的影响，因此（8）式在理论上具有更重要的意义。对（8）进行求导： （9） 令=0，即=0，对应于大地水准面的局部极值点：即显著特征点（垂线偏差为零的点） 。从而为探求大地水准面的局部显著特征点位置提供参考数据。 再对(9)式进行求导： （

13、10） 令=0，可得： （11） 由于(11)式是个常微分方程，即 可化为 解之得 （12） （12）式中，为坐标系原点处的“形状因子”之值，为已知值。满足上式的点即可认为是大地水准面的“拐点” ，从而为寻求大地水准面“拐点”位置（二维平面）提供参考数据。对于的确定可用“试代”的方法，令 （13） 如果，则（13）式可化为： 其中，为某一小量的正数， 。进一步考察（8） 、 （9） 、 （12） 、 （13）式：是它们共有的函数因子，在本质上决定精度的是大地水准面形状因子函数的确定，即其拟合的精度，因此的精确求定具有重要意义。 3.3 某点处大地水准面形状因子的精度评定 假设已知节点处的“差距

14、“和垂线偏差两种因素数据的获得是相互独立的，对于（2）式，由误差传播定律可得： 4 关于将大地水准面形状因子推广到三维空间的思考 由于大地水准面是三维的，因此考虑三维空间的大地水准面形状因子会更加具有实际意义，而在三维空间内，就要研究大地水准面的特征线问题。由以上分析： （14） 其中 , 由（14）式可得到如下结论： 1、同一点处大地水准面形状因子是关于大地方位角的余弦函数，满足余弦函数的一切特性，在某一特定方向取得极值； 2、一般点处的大地水准面形状因子具有方向性，显著特征点的形状因子不具有方向性，即：0。其地球物理意义：铅垂线与法线方向重合。在三维空间内（图 5） ，考虑局部区域，假设法线处处平行，z 轴指向外法线方向，x、y 轴分别指向椭球面子午圈、卯酉圈方向。 图.5 Fig.5 由大地水准面形状因子： 在三维空间内，假定，则 若设 则 （15） 该式为三维空间大地水准面形状因子与大地水准面差距间关系“连续性”的数学模型，其实质为偏微分方程，在此式中方位角与坐标无关。按照偏微分方程的有关理论（15）式为一阶变系数双曲型方程8：