1、1“梯子下滑”背后的玄机一次，我随学校数学组在八年级某班听公开课。教师讲到“梯子沿墙下滑”问题时，特意将书本上的探究例子改变了数据对学生进行分组训练： “如图，一长 10 米的梯子 AB 斜靠在一竖直墙壁 AO 上，梯子顶端 A与底端 B 可自由滑动。已知：OA=8 米” 很快三个小组的学生就给出了答案： 第一组：若顶端 A 下滑 1 米，则底端 B 外滑（51-6）米；若底端 B外滑 1 米，则顶端 A 下滑（8-51）米。 第二组：若顶端 A 下滑 2 米，则底端 B 外滑 2 米；若底端 B 外滑 2米，则顶端 A 下滑 2 米。 第三组：若顶端 A 下滑 3 米，则底端 B 外滑（53
2、-6）米。若底端 B外滑 3 米，则顶端 A 下滑（8-19）米。 看到学生掌握的还不错，教师将这类问题的解法简单的程序化了一下，让学生自由发言，把心中的疑问提一下。这时一个男生提了这样一个问题：从上面三个题目的结果来看： 学生的直观感觉是，梯子顶端下滑多少，梯子底端就该下滑多少。可为什么下滑值与外滑值有些一致而有些却不一致？ 教师没料到自己随便编排的数据竟有如此的意外的结论，情急之下只好三言两语将这个问题搪塞了过去。 2下来仔细推敲了一下，惊奇地发现：看似平常无奇的“梯子下滑”问题背后竟也隐藏着巧妙的数学玄机。 “梯子下滑”问题归根到底是个勾股定理的应用问题，现给出右图一个演示模型来分析其“
3、下滑值与外滑值”之间的关系变化奥秘。 如下图，设一 Rt两直角边长分别为 a 和 b（ab）.斜边长为 c.令其较大直角边 a 逐渐减小（类似于下滑） ，减小量为 m（0a-b 时（即下滑值两直角边之差） ，则易知 0m-a（a-b）-a k2+2bk=a2-（m-a）2a2-（a-b-a）2 即 k2+2kba2-b2 移项，得（k+b）2a2 故 ka-b 由 ma-b 可得 ak 所以，当 ma-b 时，mka-b.也就是说：当“下滑值大于两直角边之差”时， “外滑值小于下滑值” 。但同样“大于两直角边之差” 。 （3）当 02（m+b）m-m2 解得（k+b）2（m+b）2 所以，k+
4、bm+b 即 km 所以，当 0两直角边之差”时，外滑值8-51） 。 当梯子下滑 2 米=2 米时，外滑值应等于下滑值（2 米=2 米） 。 当梯子下滑 3 米2 米时，外滑值应小于下滑值（533） ， （38-19） 。4而前提恰好是：“梯子沿较大直角边（OA=8 米）下滑” 。 上边的教学案例对我触动颇大。这几年总觉得教数学就是教学生怎样解题，怎样应考，怎样得高分。所以经常关注的是某块知识，某个定理该怎样应用，恨不得把每类知识都归纳成计算机程序让学生记记背背。那堂公开课上，那个小男孩的细心和疑问精神实在让我汗颜，教了近十年的数学我竟没有发现一个只需要有一些喜欢数学的兴趣和正常人的细心就连学生都可以发现的数学秘密。是不是同样的课程教的久了，我也变成了以前连我自己都曾不屑一顾的“教书匠”了？ 参考文献 1“梯子沿墙下滑问题”可见于人教版八年级数学下册“勾股定理”章的探究
