1、1勾股定理的实际应用一、确定小鸟飞行距离 例 1 （2013 年贵州省安顺市中考题）如图 1，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A.8 米 B.10 米 C.12 米 D.14 米 分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。 解 如图 1，设大树高为 AB10 m，小树高为 CD4 m，过 C 点作CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是长方形，连接 AC，所以 EB4 m，EC8 m，AEABEB1046 m，在 RtAEC
2、中，AC=10 m，故答案应选 B。 点评 本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。二、确定车子是否超速 例 2 （2013 年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图 2，先在笔直的公路 l 旁选取一点 A，在公路 l 上确定点 B、C，使得 ACl，BAC60，再在 AC 上确定点 D，2使得BDC75，测得 AD40 米，已知本路段对校车限速是 50 千米/小时，若测得某校车从点 B 到点 C 匀速行驶用时 10 秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。 （参考数据：1.41
3、，1.73） 分析 过点 D 作 DEAB 于点 E，可得BCDBED，在 RtADE 中求出 DE，继而得出 CD，计算出 AC 的长度后，在 RtABC 中求出 BC，从而可判断校车是否超速。 解 过点 D 作 DEAB 于点 E，因为CDB75，所以CBD15，EBD15，在 RtCBD 和 RtEBD 中，因为CBDEBD，DCBDEB，BDBD，所以CBDEBD，所以CDDE。 在 RtADE 中，因为A60，所以ADE30。又因为 AD40米，所以 AE20 米。 由勾股定理，得 DE20米，故 ACAD+CD=AD+DE(40+20)米。 在 RtABC 中，因为A60，所以AB
4、C30，AB2AC=(80+40)米，BC（40+60）米。 所以这辆车在 BC 段的速度（40+60）10（4+6）米/秒12.92 米/秒46.512 千米/小时50 千米/小时，所以该车没有超速。 点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出 BC 的长度，需要运用两次勾股定理。 三、求楼的高度 例 3 （2013 年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码 20 层！”小华却不以为然：“20 层？3我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各
5、选 A、B 两点，测量数据如图 3 所示，其中矩形 CDEF 表示楼体，AB150 米，CD10 米，A30，B45，A、C、D、B 四点在同一直线上，问： （1）楼高多少米？ （2）若每层楼按 3 米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。 （参考数据：1.73，1.41，2.24） 分析 （1）设楼高为 x，则 CFDEx，在 RtACF 和 RtDEB 中分别用 x 表示 AC、BD 的值，然后根据 AC+CD+BD150，求出 x 的值即可。（2）先算出 20 层楼的高度，然后和上一问求出的 x 的值进行比较即可判断谁的观点正确。 解（1）设楼高为 x，则 CFDEx，因为A30
6、，B45，ACFBDE90，所以 AF2x，BDx，由勾股定理，得 ACx，所以x+x15010，解得 x70（1） ，所以楼高 70(1)米。 （2）因为 x70(1)70(1.73-1)700.7351.1320，所以我支持小华的观点，这楼不到 20 层。 点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。 四、求梯子的滑行距离 例 4 （2013 年内蒙古包头市中考题）如图 4，一根长 6米的木棒4AB，斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上，与地面的倾斜角ABO 为 60。当木棒 A 端沿墙下滑至点 A时，B 端沿地面向右滑行至点 B。 （1）求 OB 的长； （2）当 AA1 米时，求 BB的长。 分析 （1）由已知数据求解即可。 （2）首先求出 OA 的长和 OA的长，再根据勾股定理求出 OB的长。 解（1）在 RtAOB 中，根据题意可知，AB6，ABO60，AOB90，所以OAB30，所以 OB3，即 OB 的长为 3米。 （2）根据题意可知，ABAB6米，而在 RtAOB 中，由勾股定理，得 OA9 米。 因为 OAOAAA，AA1 米，所以 OA8 米。 在 RtAOB中，由勾股定理得 OB=2米，所以BBOBOB（2-3）米。 点评 本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。
