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1、第二章 平面体系几何组成分析。内容提要 1几个基本概念（1） 几何不变体系。不考虑材料应变，在任意载荷作用下能保持其原有的几何形状和位置的体系。（2） 几何可变体系。不考虑材料应变，在任何载荷作用下其原有的几何形状和位置发生变化的体系。（3） 瞬变体系。如果一个几何可变体系在发生微小的位移后，即成为几何不变体系，称为瞬变体系。（4） 刚片。在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，故可以把每一杆件或体系中已被肯定为几何不变的某个部分看作刚体，刚体在平面体系中称为刚片。（5） 自由度。一个体系的自由度，是指该体系在运动时确定其位置所需的独立坐标的数目。（6） 约束。指减少物体或体系自由度的装置。（

2、7） 多余约束。如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并不因此而减少，则该约束称为多余约束。2自由度计算公式（1）平面刚片体系（15.1）rhmW23式中： 体系的计算自由度;体系中的刚片数。m单铰数；h支座链杆数。r（2）平面链杆体系（15.2）rbj2式中： 体系中的节点数；j链杆数;b支座链杆数。r若 （对于不和基础相连的独立体系为 ） ，则体系为几何可变；若0W3W（对于不和基础相连的独立体系为 ） ，说明体系满足几何不变的必要条件，还要应用 几何不变体系的基础组成规则作进一步分析。3几何不变体系的简单组成规则（1）两刚片规则。两刚片用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连结，组成无多余约束

3、的 几何不变体系。两刚片永不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，也组成无多余约束的几何不变体系。（2）三刚片规则。三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系。（3）加减二元体规则。在一个体系上增加或减少二元体，不改变原体系的几何可变或不变性。14解题技术（1）应用基本组成规则进行分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚体，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化为二至三个刚片，再应用规则进行分析，体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。(2) 当体系与基础是按两刚片规则连接时，可先

4、撤去支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。（3）当两个刚片用两个两根链杆相连时，相当于在两杆轴线的交点处用一虚铰相连，其作用与一个单铰相同。当两个轴线相互平行时，可认为两杆轴线在无穷远处相交，交点在无穷远处。（4）对体系作几何组成分析时，每一根杆件都要考虑，不能遗漏，但也不能重复使用。分析结果要说明整个体系是什么性质的体系，有无多余约束，如有多余约束，有几个。题 解题 2-1 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =33-22-5=0（2）几何组成分析。首先，刚片 AB 由三根不共点的链杆与基础相连，组成一个大的刚片。其次，刚片 BC 由不

5、共线的铰 B 和链杆 4 和刚片相连，组成一个更大的刚片。用同样的方法分析刚片 CD。最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-2 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r=31-4=-1（2）几何组成分析。由于支座 A 为固定端支座，可把杆 AB 和基础作为刚片,刚片 BC 由不共线的铰 B 和链杆 1 与刚片相连，链杆 2 为多余约束。因而整个体系为几何不变，有一个多余约束。题 2-3 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3j-b-r=210-16-4=0（2）几何组成分析。将 AFG 部分作为一刚片，然

6、后依次增加二元体ABG、BCG、CHG、ACFH 部分为以扩大了的刚片。这个刚片与基础用不共点的三根链杆 1、2、3 相联，组成一个更大的刚片。同理，可把 DERJ 部分作为刚片，它由不共点的三根链杆 CD、HR、4 与刚片2相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-4 试对图示体系进行几何组成分析。解：体系的自由度为W=3m-2h-r =35-24-5=2体系缺少足够的约束，为几何可变体系。题 2-5 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =33-22-5=0 （2）几何组成分析。首先刚片 ABCG 由四根不共点的链杆与基础相连，组成

7、一个大的刚片（但有一个多余约束） 。其次，刚片 EF 由两根链杆 DE 和 5 与刚片相联，缺少一个约束。最后得知整个体系为几何可变。题 2-6 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =34-23-6=0（2）几何组成分析。首先从体系中撤除二元体 DAB、1D2 。其次，将链杆 3、4 作为二元体，加到基础上，刚片 BC 由不共点的三根链杆 BE、5、6 与扩大了的基础相连，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-7 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =28-9-7=0（2）几何组成分析。首

8、先把三角形ACD 和 BCE 分别看作刚片和5A B3刚片，把基础看作刚片，则三个刚片用不共线的三个铰 A、B、C 分别两两相联，组成一个大的刚片，在这个大的刚片上依次增加二元体12、DGF 、CHG、EIH 、IJ3.最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-8 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =36-27-4=0（2）几何组成分析。刚片 AF 和 AB 由不共线的单铰 A 以及链杆 DH 相联，构成刚片，同理可把 BICEG 部分看作刚片，把基础以及二元体12、34看作刚片三，则、三由不共线的三个铰 F、B、两两相联，构成几何不

9、变体系，且无多余约 束。题 2-9 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =314-219-4=0（2）几何组成分析。在刚片 HD 上依次增加二元体 DCJ、CBI 、BAH 构成刚片，同理可把 DMG 部分看作刚片，把基础看作刚片三，则刚片、三由不共线的单铰 D，虚铰 N、O 相联，构成几何不变体系，且无多余约束。题 2-10 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =27-11-3=0（2）几何组成分析。由于 AFG 部分有基础简支，所以可只分析 AFG 部分。可去掉二元体 BAC 只分析 BFGC

10、 部分，把三角形 BDF、CEG 分别看作刚片和，刚片和由三根平行的链杆相联，因而，整个体系为瞬变。题 2-11 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r4=29-13-5=0（2）几何组成分析。首先在基础上依次增加二元体12 、AE3、AFE、ABF、FI4，组成一个大的刚片。其次，把 CDHG 部分看作刚片，刚片、由三根共点的链杆 BC、IG、5 相联，因而，整个体系为瞬变。题 2-12 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r=27-11-3=0（2）几何组成分析。由于 ABCDEF部分有基础简支，所以可

11、只分析ABCDEF 部分。把三角形ABD看作刚片、BCF 看作刚片，杆件 CE 看作刚片三，则三个刚片由不共线的单铰 B，虚铰 O1、O 2 分别两两相联，构成几何不变体系，且无多余约束。题 2-13 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =26-8-4=0（2）几何组成分析。把三角形 CDF 看作刚片，杆件 AB 看作刚片, 基础和二元体 23 看作刚片三，刚片和刚片由链杆 CE、4 相联，相当于虚铰 O1,刚片和三由链杆 EB、1 相联，相当于一个虚铰，三个虚铰不共线，构成几何不变体系，且无多余约束。题 2-14 试对图示体系进行几何组成分析。

12、解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =212-21-3=0（2）几何组成分析。由于 ABCGLKD 部分有基础简支，所以可只分析 ABCGLKD 部分。在三角形 ADE 上依次增加二元体 ABE 、BFE、BCF 、CGF 、FHE 组成刚片 ，将三角形 HJI 看成刚片，杆件 KL 看成刚片三，刚片 和 由单铰H 相联，刚片 和三由链杆 KI 和 JL 相联，即在 H点由虚铰相联；刚片刚片三由链杆 EK、FL 相联，即在无穷远处有虚铰相联；显然，这三个铰共线，因而，整个体系为瞬变。题 2-15 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h

13、-r =37-29-3=0A B C5（2）几何组成分析。由于 ACEFG 部分由基础简支，所以可只分析 ACEFG 部分。在杆件 ABC 上增加二元体 BGA 构成刚片，同理可把 CDEF 部分看作刚片，刚片和刚片由不共线的单铰 C 及链杆 GF 相联，因而，整个体系为几何不变体系，且无多余约束。题 2-16 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =39-213-3=-2（2）几何组成分析。由于 ADEFG 部分由基础简支, 所以可只分析ADEFG 部分。把三角形 AED 看作刚片，杆 BE 看作多于约束，把三角形 AFG 看作刚片，杆CF 看

14、作多余约束。刚片和刚片由不共线的铰 A 及链杆 EF 相联，因而整个体系为几何不变体系，且有 2 个多余约束。题 2-17 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =29-15-3=-0（2）几何组成分析。由于ADIHGFEB 部分由基础简支, 所以可只分析 ADIHGFEB 部分。在三角形 BEF 上依次增加二元体 BCE 、CGF 组成刚片，同理可把 CDHI 部分看成刚片，刚片和 由不共线的铰 C 及链杆GH 相联，构成一个更大的刚片，然后再增加二元体 BAD.最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-18 试对图示体系进行几何组成分析

15、。解：（1）计算自由度。体系的自由 度为W=3m-2h-r =36-28-3=-1（2）几何组成分析。由于ABCDFE 部分由基础简支, 所以可只分析ABCDFE 部分。在杆件 ABCD 上增加二元体 AEB、CFD 构成几何不变体，链杆EF 可看作多余约束。因而，整个体系为几何不变体系，且有一个多余约束题 2-19 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r=26-8-4=-0（2）几何组成分析。把三角形 BCE 看作刚片，杆件 DF看作刚片, 基础上增加二元体 12 看F G I6作刚片三，刚片和三由链杆 AD、3 相联，即由虚铰 F 相联， 刚片和

16、 由链杆BD、EF 相联，交点在无穷远处；刚片和 三由链杆 AB、4 相联， 即由虚铰 C 相联；显然，这三个铰共线，因而，整个体系为瞬变。题 2-20 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =28-13-3=-0（2）几何组成分析。首先，在三角形 A EF 上依次增加二元体ABF 、BCF 、 CGF 组成刚片，而杆件 BG 可看作一个多余约束。其次，去掉二元体 CDH、GH3。把基础上增加二元体 12 看作刚片，则刚片和 刚片只用铰 E 相连，因而，整个体系为几何不变体系，但在BCGF 部分有一个多余约束。题 2-21 试对图示体系进行几何组成

17、分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =29-14-4=-0（2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体DAB、BCF、DBF 不改变原体系的几何组成性质，所以下面只分析 DEF 以下部分即可。把三角形 EFI 看作刚片，把杆件 DH 看作刚片，把基础上增加二元体 12 看作刚片三。刚片和 由虚铰 F 相联，刚片和 三由链杆 GE 及链杆 4 相连，交点在 CI 直线上，刚片和三由平行链杆 DG 及链杆 3 相联，由于链杆 DG、3 和直线 CI 平行，且三直线将在无穷远处相交。所以三个虚铰在同一条直线上，因而整个体系为瞬变。题 2-22 试对图示体系进行几何组成分析。

18、解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r=310-214=2（2）几何组成分析。该体系没有和基础相连，只需要分析其内部几何性质。杆件 AH 和杆件 HJ 由不共线单铰 H 和链杆相连构成刚片；同理可把 DMJ 部分看作刚片，再把折杆 ABCD 和二元体 BFC 看作刚片三。刚片、三由三个不共线的单铰 A、J、D 两两相联，构成几何不变体系，链杆 FJ 可看作多余约束。因而整个体系内部为几何不变，且有一个多余约束。题 2-23 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r7=34-24-4=0（2）几何组成分析。把曲杆 ACF 看作刚片；曲杆

19、 BDE 看作刚片，基础和二元体12、34 看作刚片三。刚片、三由不共线的三铰 A、B、G 两两相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-24 试对图示体系进行几何组成分析。 解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =34-23-5=1体系缺少足够的约束，为几何可变体系。题 2-25 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =32-21-4=0（2）几何组成分析。把 ABD 看作刚片；BCE 看作刚片 ，基础 看作刚片三。刚片、由单铰 B 相联，刚片、和三由链杆 3、4 相联（即在两杆轴线的交点出用以虚铰相联） ，刚片和三

20、由链杆 1、2 相联（即在两杆轴线的交点出用以虚铰相联） ，显然，这三个铰不在一条直线上，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-26 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =39-210-7=0（2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体EAB、CDH、IEF、EHL 、1I2、6L7、不改变原体系的几何组成性质，所以下面只分析 JBCK 和基础部分即可。把折杆 JBCK 看作刚片 ；基础 看作刚片，刚片和刚片由不共点的三根链杆 3、4、5 相联，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-27 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1

21、）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =29-14-4=-0（2）几何组成分析。首先，在三角形 GHE 上依次增加二元体 GKH、KLH，把EGKLH 部分看作刚片 ，同理，把 LMJFI 部分看作刚片，基础看作刚片三，则三个刚由不共线的三个铰 G、L、J 分别两两相联， 因而，整个体系为几何不8变体系，且无多余约束。题 2-28 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =213-20-6=-0（2）几何组成分析。首先在体系上依次去掉二元体JAB、BCD、DEM、FBG、KFG、KGH、HDI、LHI 不改变原体系的几何组成性质，所以下面只分

22、析余下部分即可。杆件 JK 由三个不共点的链杆1、2、3 与基础相联，组成刚片；杆件 LM 由三个不共点的链杆 4、5 和 KL 与刚片 相联，组成更大的刚片，但链杆 6 为一多余约束。杆件 IL 与更大的刚片只有一个单铰相联，缺少足够的约束，因而整个体系为几何不变。题 2-29 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =25-6-3=-1体系缺少足够的约束，为几何可变体系。题 2-30 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =33-22 -5=-0（2）几何组成分析。把折杆 ACD 看作刚片，折杆 C

23、E 看作刚片,即除看作刚片三。刚片、由单铰 C 相联，刚片 、三由链杆 4、5 相联（即用铰 E 相联） ，刚片和刚片由链杆 2、3 相联（即用铰 D 相联） ，显然，这三个铰不在一条直线上，刚片、三构成一个大的刚片。刚片 BA 由不共线的铰 A 和链杆 1 与上述大的刚片相联， 因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-31 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =33-23-6= -3（2）几何组成分析。由于支座 A 为固定端支座，可把折杆 ABCE 和基础作为刚片(铰 E 为多余约束 )，把折杆BD 看作刚片，两个刚片由不共线的铰 B

24、和链杆 CD 相联。链杆 DF 为多余约束。因而整个体系为几何不变，且有三个多余约束。题 2-32 试对图示体系进行几何组成分析。9解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r =34-24-4= 0（2）几何组成分析。首先 在基础上依次增加二元体HDE、 DCG、CBF构成刚片，再把折杆AC 看作刚片，折杆AB 看作刚片三。刚片、由铰 C 相联，刚片、三由铰 A 相联，刚片和三由铰 B相联，显然，这三个铰不在一条直线上，因而整个体系为几何不变，且无多余约束。题 2-33 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=2j-b-r =210-18-4= -2（2）几何组成分析。首先在三角形 EJI 上依次增加二元体EDI、DCI、CHI 、CBH 、CGH、BAG、BFG 构成刚片(链杆 AF 为多余约束) ，把基础看作刚片，则两个刚片有三根不共点的链杆 1、2、3 相联（链杆 2 为多余约束） 。因而整个体系为几何不变，且有两个多余约束。题 2-34 试对图示体系进行几何组成分析。解：（1）计算自由度。体系的自由度为W=3m-2h-r=38-211-3= -1（2）几何组成分