1、1举一反三 一题九解含二元未知量的最大值、最小值问题是近年全国高考经常考查的重要内容，在全国各地的高考试卷中出现的频率都较高.本文就 2013 年天津市高考中的一道填空题进行研究，发现本题的知识点考查全面，方法很多，并有一定的计算量，技巧性很强，能覆盖许多章节知识点.下面笔者对这道高考试题进行剖析，供大家参考. 【高考原题】 设 ab2，b0，则当 a_时，取得最小值 解法一 分析 通过探求命题的出发点，发现可将 1 用 代换后构造不等式求解. 解 a+b=2， 1= ， + = + = + + +2 1- = ，当且仅当 a0，又 a0， b2，b=2-a. 当 0 f（a）= + = +
2、= + = + = + + 2 + = ，当且仅当 = ，即 a= 时等号成立. 故当 a= 时，f（a）min= . 当 a0，又 a0， b2，a=2-b. 当 00，f（b）= + = + = + -1= + -1= + -1= + + 2 + = ，当且仅当 = ，即 b= 时等号成立. 故当 b= 时，f（b）min= . 当 b2 时，a=2-b0， 1-t0，得 t2 时，令 b=，得 a=2-. f（）= +cos2=+cos2=+cos2-2 ，当且仅当=cos2，即a=-2 时，等号成立. 4综上，当 a=-2 时，取得最小值. 点评 这种解法是先利用三角换元法换元，然后化
3、简为关于自变量 的函数表达式，最后利用“1”的代换即 sin2+cos2=1 和基本不等式知识求出最值. 解法六 分析 考虑到 b0，发现与同号，可利用绝对值的重要性质求解. 解 b0， 与同号，于是 2，当且仅当 a=-2 时，等号成立. 因此，当 a=-2 时，+取得最小值. 点评 此种解法注意到绝对值等式的一个重要性质，即当 ab0 时，|a|+|b|=|a+b|，简化了运算，快速得出正确结论. 解法七 分析 由于条件是含 a，b 的二元方程，求含绝对值的式子的最小值，可以先利用均值换元，然后转化为关于一个元的式子，结合导数知识求解. 解 a+b=2，b0，又 a0， b2，b=2-a.
4、 当 0 f （a）=- . 令 f （a）=0，得 a=.当 a（0， ）时，f （a）0. 故当 a=时，f（a）min=. 当 a0，又 a0， b2，a=2-b. 当 00，则 f（b）=， f （b）=，令 f （b）=0，得 b=. 当 b（0， ）时，f （b）0. 故当 b=时，f（b）min= . 当 b2 时，a=2-b0. 故当 b=4 时，f（b）min=，此时 a=2-b=-2. 综上，当 a=-2 时， + 取得最小值 . 点评 这种解法是先讨论 b 的取值范围，然后化简为关于自变量 b 的函数表达式，最后利用导数知识求出最值. 解法九 6分析 数形结合是重要的解题思想，根据题意化简后作出函数的图形，从图形直观地求解. 解 b0， 与 同号，于是 作出函数的图象如右图所示， 当且仅当 a=-2 时， + 取得最小值 . 点评 此种解法先变形化简后作出图象，可以很直观地得出答案，缺点是学生考试时难直接绘出该函数的图象，不过如果化简后函数比较简单，用这种方法解题则快捷准确. 以上专门对这道高考填空题进行了一题多解，从不同的思维角度展开分析，进行了详细的解答和必要的点评.类似的这种题还很多，同学们可以从中举一反三，总结知识点和解题规律与方法.（编辑 孙世奇）
