1、1利用数学原理求函数的最值问题在中学数学的教学中，经常遇到求函数最值的问题，所谓最值是指在某区间内的最大值或最小值，即：一般地，设函数 y=f（x） 的定义域为 I，如果存在实数 M，对任意 xI，f（x）M；存在 x0I， f（x0）=M，称 M 为 f（x）的最大值，若存在实数 N，满足 xI，f（x）N，存在 x0，f（x0）=N，则称 N 为 f（x）的最小值.下面谈谈利用数学原理求函数的最值问题. 一、利用二次函数图像的性质及最值的概念求最值 例：设 f（x）=-x2+4xSin，x-1，1，其中-/2/2，求函数 f（x）的最值. 分析：因为函数 f（x）=-x2+4xSin，自变
2、量 x，在-1，1范围内，而角 -/2，/2；x2 的系数为-1，因此，f（x）=-x2+4xSin为二次函数.其图像为抛物线.又因为 x2 项系数为-1，小于 1，所以f（x）的图像为抛物线且开口向下.所以 f（x）在区间-1，1 内有最大值. 解：f（x）=-x2+4xSin =-（x-2Sin）2+4Sin2（xR） f（x）的图像为开口向下的抛物线，顶点坐标（2Sin，4Sin2） x-1，1 2当 2Sin=-1，得 =-/6 当 2Sin=1， 得 =/6 即当 （-/6，/6）时，f（x）的最大值是 4Sin2 当 -/2，-/6 ，因为抛物线开口向下，且抛物线顶点在直线 x=-
3、1 左侧（或在 x=-1 上） 因此，当 x=-1 时，f（x）达到最大值 f（-1）. f（-1）=-（-1）2+4（-1）Sin =-1-4Sin 同理，当 /6，/2时，f（x）最大值 f（1） f（1）=-（+1）2+41Sin= -1+4 Sin 根据函数 f（x）=-x2+4xSin，x-1，1，-/2/2的图像可求 f（x）的最大值= 4Sin，-，-1-4Sin，-，1+4Sin， 二、利用配方法及不等式的意义求最值 例：已知 x、yR，求 y=x+2+的最大值和最小值. 分析：求函数 y=x+2+的最大值和最小值，只要把 y=x+2+配方为：y=x+2+，再把=的右边看作在直
4、角三角形 RtABC 中，斜边，直角边 x+2 的关系（如图 1） ，令B=，Sin=， x+2=Sin，所以 y=x+2+就可以转化三角函数的表达式：y= Sin+=Sin+Cos=Sin（+）.最后根据 3Sin（+）的最值和不等式的意义便可求出原函数的最值了. 解：x、yR y=x+2+ =x+2+ =x+2+ 又、 （x+2）可看作 RtABC 中的斜边及直角边，设B= Sin= x+2=Sin y=x+2+ =Sin+ =Sin+Cos （ 为锐角） =（Sin?+Cos?） =Sin（+） - -+ -Sin（+）1 -Sin（+） -x+2+ 函数 y 的最大值为，最小值为- y
5、 的最大值为，最小值为-. 三、利用（a-b）20，a?b 为实数及不等式的意义求最值 例：如图 2，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC=3，点 P、Q 分别4在边 AB、AC 上移动，且线段 PQ 把ABC 分为面积相等的两部分，求线段PQ 的长度的最小值. 分析：由于 PQ 把ABC 分为面积相等的两个部分，APQ 和四边形PQCB，由已知：SAPQ=S 四边形 PQCB AP?AQ?SinA=?BC?AC AP?AQ?SinA=BC?AC AP?AQ=BC?AC?= 34=10 又在 RtABC 中：SinA= CosA= 又（AP-AQ）20 （AP?AQR） AP2+AQ2
6、2AP?AQ 又在APQ 中，由 PQ2=AP2+AQ2-2AP?AQ?CosA2AP?AQ-2AP?AQ?CosA =2（1-CosA）AP?AQ =2（1-）10 =4 PQ2 根据利用最值的意义，可见线段 PQ 的最小值为 2. 解：略. 四、利用基本不等式“正数的算术平均值不小于几何平均值”及最值的意义求最值 例：在半径为 R 的球内作一内接圆锥，求圆锥的最大体积. 5分析：此题为求圆锥的最大体积，也就是求内接圆锥体积的最大值问题. 设内接圆锥的高为 h，底半径 r，体积为 V，如图 3. 则：V=r2h =r2（R+） 令 r=R?Cos，其中 0 于是：V=r2（R+） =r2（R
7、+R?Sin） =?R2Cos2?R（1+Sin） =R3（1-Sin2） （1+Sin） =R3（1-Sin） （1+Sin） （1+Sin） 1-Sin、1+Sin 都为正数，因此根据函数的算术平均值不小于几何平均值的原理可得： V=R3（1-Sin） （1+Sin） （1+Sin） =R32（1-Sin）?（1+Sin）?（1+Sin） R3（）3 =R3? =R 3? =R3 即 VR3 根据最值的意义可确定体积 V 的最大值为R 解：略. 6以上案例都是利用了数学的原理来求不同函数的最值问题.除此之外，只要我们认真研究、深入挖掘，定能找出更多、更好的利用数学原理的方法，来求函数的最值.因此，在求解函数最值问题上，只要我们积极思考、努力研究，定会更好地帮助学生开拓思维、扩大思路，也定会更好地帮助学生开拓进取，提高解决问题的能力之作用. 责任编辑 罗峰
