1、1例说中考正方形探究问题在近几年中考试题中，经常遇到正方形探究问题。解答时，同学们要注意从正方形出发，灵活利用正方形的性质或判定。现举例说明。 一、探究结论型 例 1（2013 年辽宁省鞍山市中考题）如图 1，在正方形 ABCD 中，E是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DFBE。 （1）求证：CECF； （2）若点 G 在 AD 上，且GCE45，则 GEBEGD 成立吗？为什么？ 分析（1）要证明 CECF，只需证明CBECDF；（2）三条线段之间的和差问题通常转为两条线段相等问题。由 BEDF，得BEGDDFGDGF。要探究 GEBEGD 是否成立，只需探究 GEGF是否成
2、立。 解（1）在正方形 ABCD 中， 因为 BCCD，BCDF90，BEDF， 所以CBECDF（SAS） 。 所以 CECF。 （2）GEBEGD 成立。 因为CBECDF，所以BCEDCF。 因为BCD90，GCE45， 2所以BCEDCG45，DCFDCG45。 所以GCF45GCE。 因为 CFCE，GCGC，所以CFGCEG（SAS） 。 所以 GFGE。 因为 GFDFGD，DFBE，所以 GEBEGD。 二、探究条件型 例 2 （2013 年辽宁省铁岭市中考题）如图 2，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使
3、OEOD，连接 AE、BE。 （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由。 分析（1）因为 OAOB，OEOD，所以四边形 AEBD 是平行四边形。要证明它是矩形，只需再证明它有一个内角是直角；（2）如果矩形 AEBD是正方形，则BADEAD45。这时BAC2BAD90。 解（1）因为点 O 为 AB 的中点，所以 OAOB。 因为 OEOD， 所以四边形 AEBD 是平行四边形。 因为 ABAC，AD 是ABC 的角平分线， 所以 ADBC，ADB90。 所以平行四边形 AEBD 是矩形。 （2）当ABC 是等腰直角三角形时，
4、矩形 AEBD 是正方形。理由如下：3因为ABC 是等腰直角三角形，ABAC， 所以BAC90。 因为 AD 是ABC 的角平分线， 所以BADBAC45，ABD90BAD45。 所以BADABD，ADBD。 所以矩形 AEBD 是有一组邻边相等的矩形。 所以矩形 AEBD 是正方形。 三、探究存在型 例 3（2013 年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图 3，在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，AEP90，且 EP 交正方形 ABCD 外角的平分线 CP 于点 P，交边 CD 于点 F。 （1）求证：AEEP； （2）在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四
5、边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。 分析（1）在 BA 边上截取 BKBE，连接 KE。要证明 AEEP，只需证明AKEECP；（2）假设存在符合要求的点 M，注意到 PEAE，那么DMAE。因此，点 M 为过点 D 作 AE 的垂线与 AB 的交点。接下去只需探究四边形 DMEP 是否是平行四边形。若是，就存在；否则，不存在。 解（1）在 BA 边上截取 BK=BE，连接 KE，则BEK 是等腰直角三角形，则BKE45，AKE135。 因为DCN90，CP 平分DCN， 所以PCN45，ECP135。 4所以AKEECP。 因为 ABCB，BKBE， 所以 AKEC。 因为EAK90AEBPEC， 所以AKEECP（ASA） 。 所以 AEEP。 （2）存在。过点 D 作 DMAE 与 AB 交于点 M，则点 M 即为符合要求的点（ASA） 。理由如下： 因为 DMAE，EPAE， 所以 DMPE。 因为BAE90EADADM，ABDA，ABEDAM90， 所以ABEDAM（ASA） 。 所以 AEDM。 因为 AEEP，所以 DMEP。 所以四边形 DMEP 为平行四边形。
