固体物理习题解答.doc

1、2;Ama点 能 量 222222 3,BxyzKmaama点 能 量所以 /3A(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为 ，FerM 面应为球面由(b)可知，22xyzKm内切于 4 点的内切球的体积 ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数34a为 其中3321.07VNa? 3VNa二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点) 这样，晶体将只有绝缘体性

2、质然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电9，正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为 2,4coss.xyUxya用基本方程，近似求出布里渊区角 处的能隙,a解以 表示位置矢量的单位矢量，以 表示倒易矢量的单位矢量，则有，,ij

3、 12,b121212, ,rxiyGbgbga为 整 数 。晶体势能 ,4coss.xyU222211ixixiyiyiGGreeUe。这样基本方程 1 020.G其 中 ， 而 其 他 势 能 傅 氏 系 数()kGCKU变 为111111110GGGCKUCK求布里渊区角顶 ，即 处的能隙，可利用双项平面波近,a(,)2k似来处理。()()(iKr iKGrCee当 时依次有11,22G而其他的 ，1,21KG，所以在双项平面波近似下上式中只有1K1, ;22CGCG121012GUC12Gu=0，因为u12G 21122Gma22()0,UUm由 行 列 式 有 解 得 =2.u+所

4、以 在 （ ,-） 处 的 能 隙 为 =a10，已知一维单原子链，其中第 个格波，在第 个格点引起的位移为，jn， 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平sin(_)njjjjjtqj均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）si()nnjjjjjatn2*2*nnjnjnjnj?由于 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项nj相比是一小量，可以忽略不计。所以 22nnj由于 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（ 2）022 211si()Tjjjjjjatn

5、qdta已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， 的动能时间平均值为nj0 022 201 1si()4LT Tnjjnj jjjjjdwaxtLtnaqdtwLa 其中 L 是原子链的长度， 使质量密度， 为周期。0所以 （3）214njjTwaKT因此 将此式代入（2）式有 22njjPL所以每个原子的平均位移为 22221nnjj jjKTPL11,写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 0qBnqBFUkT证明:量子谐振子的自由能为 12qBqkTBnqBFUkTe经典极限意味着（温度较高） BTgk?应用 21.xe所以2.qBqqkTBkT因此 0112qqqnBn

6、BFUUkTk其中 0q12，一维复式格子 24151.670,.50/MmgNmm求（1） ，光学波 ，声学波 。4(1.50/),dync即 0axinaxA（2） ，相应声子能量是多少电子伏。（3） ，在 300k 时的平均声子数。（4） ，与 相对应的电磁波波长在什么波段。0max解（1） ，413ax 221.50/.0,67AdyncmsM42413max 24. ./6.7051.567o dyncms413ax 221.0/.90567Adyncms（2）132ma16x 132in.8.74.0.950o seV（3） max maxax ax/ /1.87, .1A OB

7、BAkT kTnee mini/10.26OBkT（4） 28.c13，有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与 。2T证明：在 到 间的独立振动模式对应于平面中半径 到 间圆环的面积kdnd，且 则2n2 253Lsnkdkv即3 32 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTdsTskTsd dEEveveve ， 2,()vsTC3时 ，14，InSb 电子有效质量 ，介电常数 ，晶格常数 。试计算；0.15em186.49aA(1)施主的电离能；(2) 基态轨道的半径；(3) 施主均匀分布，相邻杂质原于的

8、轨道之间将产生交叠时掺有的施主浓度应该高于多少？解（1）由于施主电离能 是氢原子电离能 的DEiE20*m倍 ，420*.143.6().591()7)iDmEeVeV（2） ，2 2800 .2()6.30().1()*4aaAme （3） ，如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于 中施主杂质浓度InSb就一定满足DN33 20831(2),()4.9()26.10)DNa15,有一一维单原子链。间距为 a。总长度为 Na。求（1） ，用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （3） ，如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于

9、 T=0K 的费米能级 及 处的能态密度。0FE解 010101(1),()2cos2cosikais sEkJeJkaEJka0)sikRsp (2) , 112()2sinsiLdNaNNEEJkJka(3), 0 00()22Fk FFk0 01 11()2cos,()sin2F sFNEkJaEJJa16,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3) 中，简约波数 的 0 级波函数。2k解221()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLLL 第一能带： *20,()2ixakma第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxeLii则 即 （

10、 e=）第三能带：25* 22,()ixiixaakcmxeaL 即17，设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证： ; .1/20023/(),4VfA,f解 11222 200 0 0(),qf Aq时 ，依据 ，并带入上边结果有3(), ()q qVdsf1/2 1/20 033 22 3/014()2qVdsAVf A 1， 设晶体中每个振子的零点振动能为 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 就是各0E振动模零点能之和。 和 代入00012mEgdE将 23sVgv积分有，由于4023

11、9168mmsVENv098mBDBDkNk得一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热210K能相比拟2，根据 状态简并微扰结果，求出与 及 相应的波函数 及 ?，并说明它kaE们的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 = )。2nV*解令 ， ，简并微扰波函数为ka00()()kkAxB0*()0nEAVB取 nk E带入上式，其中 0()nEV(x)0, ,从上式得到 B= -A,于是nV=00()nixixakkAAxeL 2sinAxaL取 ， E0()nEV,nB得 到=00ixixakkxeL2cosnxaL由教材可知

12、， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度 为零产 ()k生驻波因为电子波矢 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，nka2kn这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。3，马德隆常数的计算解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，ir故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 34(1).nx当

13、 X=1 时，有 1.22n4， 电子在周期场中的势能2(),mbxabxna当0 ， ()Vx b当 (-1)+其中 d4b， 是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I) 题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()()abLbVxdVxd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需4ab3,3b()0Vx在 区间内积分这时， ，于是 ,0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数.2n20 0 01(

14、)cos,()cos()cos2 2bbmm mVxVxVxdxVxdb1 120,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE5，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为 求在 和 处的 大略地画出色散关系此问2a1svka()k题模拟如 这样的双原子分子晶体。2H解 a/2 C 10c1su1svsusv1su1

15、sv，210sssdMVVt2 10,sssCut 将 代入上式有, .iKait isKaits seVe?2101,ikaiMuCuVCe是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为=0，解出221,(0)()1iKaiKae242()00.MCcona 当 K=0 时， 当 K= 时/2/,0,CM20/,CM与 的关系如下图所示这是一个双原子(例如 )晶体2K2H6，bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德琼斯(LennardJones)势计算 Ne 在 bcc和 fcc 结构中的结合能之比值解 126 1261()4(),()(4)()2nlururNAr266612001r

16、Ad22061().5/9.)/(0.5743bcbcffu7对于 ，从气体的测量得到 LennardJones 参数为2H计算 fcc 结构的 的结合能 以 KJ/mol 单位) ，每个氢分650,.9JA 2H子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计算值比较解 以 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones2势相互作用，则晶体的总相互作用能为： 126.ij ijjUNPR6124.539;.38,ij ijj i 16 2350,.,6.0/.ergANmol1262816.96.961/53452.5/.3Umolerg KJmol 将 R代 入 得 到 平 衡 时 的 晶 体 总 能 量 为。因此，计算得到的 晶体的结合能为 255KJmol，远大于实验观察值2H0.75lKJmo1对于 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中