1、1中学物理实验线性关系测量误差的最小二乘法分析摘要：本文对中学物理实验中进行了大致分类，给出了线性关系测量实验的通用表达式。通过一道运动学的实验例题，结合三种不同的误差控制准则，推导了最小二乘法进行直线拟合的通用解法，同时对三种不同准则下的拟合直线进行了对比分析。最后结合例题简要介绍了正态分布实验数据下的剔除模型。 关键字：中学物理实验；线性关系；最小二乘法 【中图分类号】G632 文献标识码：A 一、引言 线性关系的测量在当前的物理实验教学中占据了较大的比例，涉及到力学、热学、电学、光学等领域。对于实验结果的处理又涉及到直接测量和间接测量。直接测量的最优值涉及到均值、标准差。而间接测量值最佳
2、值一般涉及图像法、分组求差法、最小二乘法。而无论直接测量和间接测量都涉及到误差的评估，误差评估常用标准差、均方误差、不确定度等标准来评估。对此有大量的学者对此进行了研究1-3。对于线性关系测量的物理实验，从数学角度上来讲是直线的拟合，理论证明最小二乘法是最优的4，故本文以最小二乘法的角度来分析实验测量中的误差并对结果进行评估。 二、中学物理实验分类及线性关系测量情况 物理实验是培养学生动手能力、深入理解课程内容、提升思维能力、2创新能力培养的重要手段。从思想方法来分类，一般有等效法（或替代法，如用电阻箱替代某未知电阻） 、转换法（如光杠杆将力学量转换为光学量） 、累计法（如将 100 页纸叠起
3、来测单页厚度，又如绕周后测头发的直径） 、控制变量法、留迹法（如打点计时器）等。从实验类型来分类，一般可以分为应用性（改装电表） 、测量性（如测教室温度） 、验证性（如验证牛顿定律） 、研究性（如测水果电池电压）等5。 线性关系在中学物理教学中是很常见的关系。比如在力学中胡克定律，电学中欧姆定律等等。如果统一用一个公式来表示，都可以表示成如下式子 yi=a+bxi+ei（1） 根据以上例子可以设计不同问法的物理实验题，本文只讨论最基本的一种情况。 三、基于误差分析的求解方法 对于上述问题求解可以写为如下二元一次方程组 （2） 从 10 个方程求解 2 个未知数，属于超定方程，而线性实验的实验数
4、据一般都属于超定方程的求解。无法求出通常意义上的解。 为此，需要设定某一个准则，使其误差逼近该准则。假如未知量， 已经被估计出来，则误差可以表示为 ei=yi-（+xi） （3） 定义如下误差评估函数 （4） 3（5） （6） 很显然，上述的评估函数都代表了估计值的误差，函数的值越小越好。对于 J，其物理意义是不让某个点距离直线太远，在数学上称为 l范数，或极大范数。对于 J1，其物理意义是让点尽量的分布在线的两边，在数学上称为 l1 范数，或和范数。J2 的解得物理意义就是使误差的平方和最小，在数学上称为 l2，或欧几里德范数，也就是最小二乘法6。理论推导指出，在误差正态分布情况下，该方法与
5、最大似然法等效。 4.最小二乘法应用 下面用最小二乘法来解这道题，将上面的 10 个线性方程写成矩阵形式 （7） 即 A=b，则 （8） 将上式展开，可以得到 （13） 对上式求关于 的导数，并令结果为零，则有 （9） 当矩阵 A 满秩时（此题显然满足） ，可以得到最小二乘解为 （10） 针对本题，最小二乘法解出的结果如式 11 所示。 （11） 4J2=2.5082 对于基于极大范数最小准则的误差函数 J，通过数值计算，精确到0.001 数值解如式 12 所示。 （12） J=1.301 对于基于和范数最小准则的误差函数 J1，精确到 0.001 数值解如式13 所示。 （13） J1=5.878 5.实验坏点的剔除判据 从图可以看出，其中一个点 x=5 时的点偏离直线比较远，此时，难免怀疑该点是否有效，需要进行检验。对于数据是否有效的检验模型一般都基于正态分布的误差模型，利用测量的数据个数 n，均值 和标准表差 S（定义如式 14）构造判据函数。 （14） 比较常见的判据函数有 （1）格罗布斯判据7（2）拉依达判据8 6.小结与展望 以上的分析基于一个例题，说明处理线性关系数据过程，最小二乘法为最优。在实际的物理实验教学中，在实验器材和分析工具（主要为计算机）都具备的条件下，可尝试通过实验及数据分析对知识点进行整合，增强学生的动手能力和科学素养。
