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1、1复习题一 简答题1已知两向量 垂直，则 满足关系式 .kjimbknjia26,32 nm, 9mn2向量 的 方向余弦 。),1( )cos,(cs)921(3已知两向量 平行，则 ， 1。kjikji , 44已知两点 且 则 4。)26(),42,(zBA9|ABz5向量 的 方向余弦为 。1,a )cos,cs)3,1(6 。xyyx24lim)0,(,7 12)1,0(,liyx8. 2yxsnli)2,0(,9.函数 极大值是 .4yxf10函数 最大值是。21)(11函数 极小值是.432yxf12积分 积分顺序交换后表达式 。100),(dxfd 10),(xdyfd13已知

2、 ，则以向量 为边的平行四边形面积为（ ） 。kjOBkiA3,OBA, )19(14 以 为球心， 为半径的球面方程是（ ） 。答：)3,12(5R 253)()2(2zy15 空间直角坐标系 下直线的一般形式为（ ） 。 答：oxyz 02211DCBxA16 函数的定义域 为（ x+y-10 ） 。)1ln(17 与 二者较大的是（ ） 。其中 D 由两坐标轴和直线 x+y=1DdxyxA2)DdxyB3围成。18已知 ，则三角形 的面积为（ ） 。 答：kjOki3,OA)219(219球面 的球心为（ ） ，球半径是（ ） 。答 ；24)3()2()1(22zyx )3,1(A20空

3、间直角坐标系 下曲面方程一般形式为（ ） 。答三元方程o 0,zyxF21.函数的定义域 为（ ） 。xz)1ln(22设函数 ，则它的全微分 （ ） 。答：ydz dyxy)()1(223 设 ，则 =（ ） 。 答 （ -1 ）)2,1(),12(baba24 以 为球心， 为半径的球面方程是（ ） 。答：3,AR 222)3()()1( Rzyx25 空间直角坐标系 坐标平面的双曲线 绕 X 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为（ xOy36942yx） 。 答： 36942226 函数的定义域 为（ ） 。21)(yxf27 设函数 ，则它的全微分 （ ） 。答：yxzsin3 dz yd

4、xyxcossin33228 当 D 为闭区域： 时， =（ ） 。答：10,Dyd4129 设函数 ，则它在点 处的全微分 （ ） 。答：xyz),2(Azdyx230 当 D 为闭区域： 时， =（ ） 。答：10,yDxdy131 =（ ） 。答：22yxd232 与 二者较大的是（ B ） 。其中 D 由两坐标轴和直线 x+y=1DdxyxA2)( DdxyB围成。33 已知几何级数 发散，则 满足条件为（ |q|=1 ） 。)0(1aqnq34 级数 是收敛还是发散的( 收敛 ).132n35 级数 的收敛半径为( ).1nnx3336 与 二者较大的是（ A ） 。其中 D 由两坐

5、标轴和DdxyxA2)( DdxyB3)(直线 x+y=1 围成。37 已知 P 级数 收敛，则 P 满足条件为（ P1 ） 。1np38. 级数 是收敛还是发散的(收敛 ).123n39 级数 的收敛半径为( ).1!nx40 若已知级数 收敛，则 （ 0 ） 。1nunulim41 级数 是收敛还是发散的( 发散 ).123n42 级数 的收敛半径为( 1 ).1nx讨论计算题 1设 ，试求 。65053yxyxz yzx,解： , 152z5432设 ，试求 。0sin2xyedxy解：设 ),(F2six则 yFyexxcos,2所以 xedyx3设 ，试求 。veuvufzxsin,

6、3),(42dxz解：因为；3241,2zzvu，xexxcos,4所以 dxz xuvevuxcos)12()32( 344设 ，试求 。0zyyz,解：设 4),(22yxF则有 ,zFzyyx所以 , 2xzx 2zyyy5设 ，试求 。vuvzsin,co,2 yx,解：因为 ，2uuzv2yyxxsin,cosvycin所以 +xz)2(uyos)2(uvysin+yvinxco6设 ，试求 。012xd解：设 ),(2yF则 xx,所以 ydx7已知 ，求 。22),(zxzyf)2,01(xzf解：由求偏导法则可得，xxf),(2yfz),(所以 01xz8已知 ，计算 。jic

7、kjibkjia2,3,32 cba)(解：由向量积运算可得5)1,58(312)3,1(),2( kjiba 20)()0,(),58()( c9已知 ，求 。24yxzz2解：由求偏导法则可得 ,823xyz16210已知 ，计算 。jickjibkjia2,3,3 )()cba解： )(b4kb3由向量积运算可得 )17,0(32)() kjica11已知 ，求 。25424yxyxz yxz2解： .,823xz241612已知 ，计算 。jickjibkjia,3, cba)(解：由向量积运算可得 )1,58(312)3,1(),2( jib 20)()0,(),58()( ca61

8、3试求过点 且与两平面 ， 平行的直线方程。)4,20(A12zx23zy解：两平面 ， 法向为1zx3y),(),1(2n直线方向为 )1,32(1021kjis由点向式方程得直线方程 4320zyx14试求空间曲线 在对应 处的切线方程与法平面方程。2sin4,co1,sintztytxt解：在 处t 22z有 cs,si,1cos ttyxttt切线方向与法平面法向为 )(所求切线方程为 212zyx所求法平面方程 0)2()1( zyx15试求空间曲面 在点 处的切平面方程与法线方程。2z4,A解：设 ，则在点 处),(2zyxyF)1(， ，4,zx 2),(y,zyxFz从而切平面

9、法向为 1,2n空间曲面 在点 处的切平面方程2yxz)4,(A即0)()(4z062zyx法线方程为 142yx16试求过点 且与两向量 ， 垂直的直线方程。),0(A)0,21(a)3,1(b7解：直线方向为 )2,36(01221 kjins由点向式方程得直线方程 24360zyx17求空间曲线 在点 处的切线方程与法平面方程。32,tzytx)1,(A解：在点 处)1,(A1有 3,22tztyxttt切线方向与法平面法向为 ),(s切线方程为 3121zyx法平面方程 0)1()()(zy18试求空间曲面 在点 处的切平面方程与法线方程。422x)3,2(A解：设 ，则在点 处),(

10、zyzyF， ，2,xx ),(y6),(zyxFz从而切平面法向为 3,216,4n空间曲面 在点 处的切平面方程22zyx)(A即0)(3)()1( 014zyx法线方程为 2zyx19求过点 且与直线 垂直的平面方程。),13(A12354zyx解： 平面法向直线方向 ),(s由点法式方程得平面方程 0)2()12)3(5zyx即 520试求空间曲线 在对应 处的切线方程与法平面方程。2,1,tztytx1t8解 在 处， 时，1t 1,2zyx 2,1,41)(22 tztytx在点 处的切线方程 t 212zy即 4121zyx在点 处的法平面方程 t 0)1(2)(1)2( zyx

11、即 0zyx21试求空间曲面 在点 处的切平面方程与法线方程。3xyez )0,(A解：设 ，则在点 处),(2zyxFz 12， ，1,zx ),(xy0),(zzeyF从而切平面法向为 02n空间曲面 在点 处的切平面方程3xyze),1(A即)()1(2)( x 04yx法线方程为 0zy22试讨论二元函数 的极值。2)(4),(yxyxf 解：令 ，2),(yxf 0,fy得函数驻点 ,从而 ， ，)(yxfA),(yxfB2),(yxfC得到 04,02, 2Ax函数 有极大值)(4)(yxyf 8),(f23.试给出 麦克劳林级数及收敛半径.ex解 麦克劳林级数为 。f)( nx

12、xxef !1!321)( 收敛半径为 。收敛域为R,924试讨论二元函数 的极值。2)(4),(yxyxf 解：令 ，02),(yxf 0,fy得函数驻点 ,从而 ， ，)(yxfA),(yxfB2),(yxfC得到 04,02, 2Ax函数 有极大值)(4)(yxyf 8),(f25.试讨论级数 的收敛半径和收敛域。1n解：由于 ，所以a收敛半径 1limli1nRn当 时，级数 发散x1n当 时，级数 也发散。R1)(n所以收敛域为 ),(26试讨论二元函数 的极值。)4)(6(), 22yxyxf解：令 ，02(),fx 0)24(6(, yxfy得函数驻点 ),(),3,0QPDNM从而 ， ，),(yxfA4(2yyxfB)(yCy )6x由极值定理分析各驻点,得到唯一极值函数 有极大值)4)(), 22yxf 36)2,(f27.试讨论级数 的收敛半径和收敛域。1nnx10解：由于 ，所以nan1)(收敛半径 1limli1Rn当 时，级数 发散x1n当 时，级数 收敛。1R1)(n所以收敛域为 ,(