1、1用波利亚解题表解 2012 年广东中考数学压轴题摘 要： 数学问题的解决是数学学习的核心.本文利用波利亚的解题表剖析 2012 年广东中考数学压轴题，以提供数学解题的有效思路和方法. 关键词： 2012 年广东中考数学压轴题 数学解题 波利亚解题表 1.理论背景 美国数学家哈尔莫斯认为：“问题是数学的心脏.”美籍匈牙利数学家波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”但在平时的解题中，学生常常会提出这样的疑惑：“我应该怎样着手去分析这些数学题？” “为什么有些同学可以很容易地就想出了它们的解决方法？他们是怎么想的？”而作为教师，我们也应常常思考：“我应该怎样让学生学会自主分析呢？对于数学解题，有
2、没有一般性的解题方法呢？” 正是基于这样的一些考虑，波利亚形成了著作怎样解题.书中的解题表给我们提供了解题的一般方法.他将解题过程分成四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾.下面我们利用波利亚的解题表剖析2012 年广东中考数学压轴题，以提供数学解题的有效思路和方法. 2.考题呈现 例：（2012 广东 22）如图 1，抛物线 yx 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、AC. （1）求 AB 和 OC 的长； 2（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合）.过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为
3、 m，ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； 图 1 （3）在（2）的条件下，连接 CE，求CDE 面积的最大值，此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留 ）. 易得：AB=9，OC=9.下面主要讨论（2） 、 （3）小题. 2.1 利用波利亚解题表剖析小题（2）. 第一步：弄清问题 问：已知是什么？ 点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动，直线 l 平行 BC，AE 的长为m，ADE 的面积为 s，另外，别忘了还有 AB、OC 的长. 问：未知是什么？ s 关于 m 的函数关系式，自变量 m 的取值范围. 问：要确定
4、未知，条件是否充分？ 自变量 m 的取值范围是容易得出的，但要求ADE 的面积 s 似乎还有点难度. 画个图试试，把不必要的部分删除（如图 2） ，看能否把已知和未知联系起来？ 图 2 第二步：拟订计划 问：你是否见过类似的图形？它与哪个知识点相关？ 3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是我们常做的题型. 问：你是否知道一个可用得上的定理？ 可以用相似三角形的面积比等于相似比的平方，而且相似比容易求出，只是两个三角形的面积都是未知的. 问：回到已知，能否借助它们求出三角形的面积？ AB、OC 分别是ABC 的底和高，可以利用它们求出ABC 的面积. 第三步：
5、实现计划 第四步：回顾 这里用到相似三角形的判定和性质，看看每一步都是有根有据的，面积也没计算错，最后记得不要漏了 m 的取值范围. 2.2 利用波利亚解题表剖析（3）小题. 第一步：弄清问题 问：已知是什么？ 问：未知是什么？ CDE 面积的最大值；圆 E 的半径及面积. 问：要确定未知，条件是否充分？ 这个似乎有点难，CDE 的底和高都未知且是变量，无法从定义求出它的面积. 第二步：拟订计划 问：回归题目，认真观察图形及已知，有几个三角形的面积能加以利用，把问题转化为已知？ 4没错，我可以先求出ACE 的面积，再减去ADE 的面积求出CDE的面积. 问：圆 E 的面积怎么办？你原来做过类似
6、的题吗？ 我再画个图试试，只要能确定点 E 的坐标，就可以确定圆的半径.求半径可以利用三角形相似的性质，坐标系中两个直角三角形相似是我曾经做过的，只需再知道 BC 的长度，这可以利用勾股定理实现. 第三步：实现计划 第四步：回顾 这道题用到了图形的割补，二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及圆的切线的性质，结果是较大的数，然而检验过程没有错误.我还发现，求CDE 的面积时，也可以先求出BCE 的面积，再用ABC 的面积减去ADE 和BCE 的面积. 3.反思 波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？” “是什么促使你这样想，这样做的？” 。这就是说，解题过程是思维过程，是把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程.波利亚解题表中的问题多是解题者自问自答，它让解题者从所学中寻找解题方法，把暂时未能解决的问题转化为我们曾经遇到过的题目.它为我们呈现了人们分析、解答数学题的心理过程，学生可以从中洞察数学解题思维的过程.但反思整个解题过程会发现，掌握基础知识再加大量的解题经验，才是我们最终得以解决问题的基础.
