高等数学极限概念引入探究及极限求解方法.doc

1、1高等数学极限概念引入探究及极限求解方法摘要极限概念比较抽象，不少学生理解和学习起来感到困难。在这里做一些探讨，结合个人教学过程中所使用的例子进行阐明。极限求解类型比较多，多数学生在学习过程中，都会或多或少遇到困难。本文将把经常使用和遇到的极限求解问题，进行分类和归纳。 关键词极限自变量因变量洛必达法则无穷小量 中图分类号O13文献标识码A文章编号2095-3437（2013）08-0060-03 一、极限概念的引入 关于极限概念的引入，很多高等数学的教材采用求圆的周长的例子，这本身是一个很好的例子，但总是用同一个例子，缺乏创新性，并且，也缺乏趣味性，也非常“数学性” 。教学过程中，本人发现，

2、学生在理解极限的概念时，往往存在困难。为了让学生更好地理解极限的概念，本人考虑了以下几个例子，通过多次的教学实践，收效不错。以下将这些例子详细陈明。 （一）超导体 一般材料在温度接近绝对零度的时候，物体分子热运动几乎消失，材料的电阻趋近于 0，此时称为超导体，达到超导的温度称为临界温度。随着各国代代科学家的不懈努力，能实现超导现象的材料陆续被发现，发生超导现象的温度逐渐提高。超导材料的用途非常广阔，如超导发电2机、磁流体发电机、超导输电线路、超导计算机、超导天线、超导微波器件、磁悬浮列车和热核聚变反应堆等。这里主要涉及两个变量，一个是温度，用 T 表示，另一个是电阻，用 R 表示，并且温度是自

3、变量，电阻是因变量。通过控制材料的温度，使它的温度不断降低，在这个过程中，该被测材料的电阻不断改变，当温度降低到临界温度时，材料的电阻变为零。电阻为零是一个确定的数值，不再是变量，这是控制温度到临界温度时，所得的极限值。以上过程用数学符号表示为：R（T）=0。R（T）是变量，但是加上极限符号之后，R（T）是一个确定的量，在这个例子中，极限等于 0。 （二）配件组装 日本本田的摩托车和汽车配件是在零下十几度组装的，买来后，大多数使用环境都是在零度以上，金属热胀冷缩的属性使得本田汽车和摩托车非常牢固。这里主要涉及两个量，一个是温度 T，另一个是金属的体积 V。温度 T 是自变量，体积 V 是因变量

4、，当环境温度改变时，金属的体积也跟着改变。装配时，零部件金属在零下十几度时，设此时温度为T1，受冷收缩，设此时的体积为 V（T1） ，可以表示为V（T）V（T1） ；装配好的成品在常温下使用时，设常温为 T2，此时，金属体积为 V（T2） ，可以表示为V（T）V（T2） 。其中 T1T2，V（T1）V（T2） 。V（T）是变量，但是加上极限符号之后V（T）和V（T）就称为一个确定的量，分别记为 V（T1）和 V（T2） 。 （三）忍无可忍 每个人的忍受力是有限度的。再好脾气的人，也会有忍无可忍之时。3设晓明受到小宝的欺负，晓明忍气吞声，就这样一天、两天，一个月、两个月一年、两年.，再好的脾气终

5、有爆发的一天。这件事上，主要涉及两个变量，一个是时间，一个心情。时间是自变量，心情是因变量。设时间为 t，心情为 f。当晓明处于忍受小宝的过程中，他即便没有爆发，心情却不能说是好的，而是不断地在积蓄能量，这个能量当然是负能量，也就是 f（t）是个变量。但是，当晓明忍无可忍而爆发的那一时刻，记这一时刻为 t0，心情状态已经发生了质的变化，原先可以看上去和气，但是这爆发的一刻，恐怕至少怒目相视了，甚至动起手脚，把这个爆发的状态记为 F，可以表示为f（t）F。即 f（t）是一个变量，但是加上极限符号之后，f（t）就是一个极限的状态，是一个确定的量。 （四）尺缩效应 爱因斯坦的广义相对论解释了物体以光

6、速运动，在地面上的人看那以光速运动的物体的长度变短了，这就是著名的尺缩效应。当运动物体的速度不够大时，地面上的人用肉眼是不容易察觉到尺缩效应的，但是它却是真实存在的。这里主要讨论两个变量，一个是速度，记作 v，另一个是物体的长度，记作 l，速度 v 是自变量，物体长度 l 是因变量。随着物体运动速度 v 不断增加，l 不断变小，即 l（v）是一个变量。物体的最大运动速度是光速 c，当物体加速到光速 c 时，其长度也达到了极限值l（v） ，这个极限值是一个确定的数，记为 l0，即l（v）=l0。 二、极限的求解 以上对极限概念的理解有所帮助，都是通过控制自变量、因变量最4终达到一个极限值。但是，

7、要特别提出的是，极限有时存在，有时是不存在的。存在时，极限值是一个确定的量；不存在的时候，又有多种情况，有时是因为极限为无穷大，有时是因为存在两个极限值，即极限不唯一，有时是因为遇到震荡极限。下面将通过具体的例子来说明极限的求解。下面给出的例子，尽量简单明了，更注重的是方法的理解。遇到比较复杂的例子，只要把它们转化成下列各类型加以处理即可。 （一）连续函数求极限 1.特别地，常值函数 c=c。 （其中 x0 可以是一个有限量，也可以是无穷大量） 例 1.8=8； 例 2.3=3； 2.一般的连续函数 例 3.（x2+3）=3； 例 4.（sinx+1）=2 例 5.（3x-5）=4 （二）自变

8、量趋于无穷大时，多项式比值的极限 自变量趋于无穷大时，求多项式比值的极限，关键看分子和分母的最高次。当分子和分母的最高次相同时，极限值是分子和分母系数的比值；当分子的最高子高于分母的最高次时，极限值为无穷大；当分子的最高次小于分母的最高次时，极限值为 0。 例 6.=； 例 7.= 5例 8.=0 （三）通分法 两分式之差为无穷大减无穷大时，可以考虑先通分再求极限。 例 9.（-） 解：原极限=- =-=- （四）消去法 当自变量趋于有限值，函数是零比零时，可以考虑用消去法。这可以和前面所述“2. 自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”做比较。 例 10. 解：原极限= （五）分母有理化与分子

9、有理化 当函数含有根式，极限又不易确定时，可以考虑分子有理化或分母有理化。 例 11. -（运用分子有理化） 解：原极限 = 0 例 12. （自变量趋于 0） （运用分母有理化） 解：原极限 =1+ 6（六）特殊极限 （1）=1 型或=1 型，x 的位置可以是一串连续的函数表达式。例 13.=1 例 14. =1 （2）（1+）xe 型或（1+x）e 型，x 的位置可以是一串连续的函数表达式。 例 15.（1+）x（1+）3xe 例 16.（1-x）=1+（-x） =e （七）无穷小量替换 当且仅当分子和分母都是乘积式的无穷小量时，才可以用无穷小量替换。下列给出一些常用的等价替换公式： 当

10、x0 时，xsinx，xtanx，xln（1+x） ，x（ex-1） ，xarcsinx，xarctanx，x2（1-cosx） ，2x（1+x）2-1 。 以上 x 的位置可以是一串具有连续性的函数表达式。实际上，只要能证明两个量是同一过程（即自变量趋于相同的路径）的等价无穷小量，就可以进行等价替换。 例 17. 解：因为当 x0 时，xsinx，xarcsinx，所以=1。 例 18. 解：因为当 x0 时，x2（1-cosx） ，xarctanx，所以=0。 7例 19. 解：因为当 x0 时，xln（1+x） ，x（ex-1） ，且当 x1 时，（x-1）0，x-1ln1+（x-1）

11、，x-1（ex-1-1） ，所以=1。 例 20. 解:因为 x0，所以 5x0，7x0，3x0，2x0，则：sin（5x）5x，arctan（7x）7x，tan（3x）3x， （e2x-1）2x，于是原极限=。 （八）洛必达法则 对或的比值型极限，可以考虑用洛必达法则。前面介绍的“2.自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”和“7. 无穷小量替换”都可以用洛必达法则求解，对具体的例子可以选择相对简单的方法。 例 21. （也可以使用无穷小量替换） 解：原极限= 例 22.（也可以使用“2.自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”所介绍的方法，直接给出答案） 解：原极限= 例 23. 解: 原极限

12、 = =6 （九）对数法 8对 00 型，a型（其中 a 是非零常数） ，0 型等幂指函数求极限，可以考虑对数法。具体如下。 例 24.（tanx）2x（00 型） 解：令：y=（tanx）2x ，则 lny=2x?ln（tanx）= lny=0 于是y=（tanx）2x=e0=1。 例 25.x（2型） 解：令：y=x，则 lny=lnx，于是lny=2。 即y=x=e2。 例 26.（）x （0 型） 解：令：y=（）x，则 lny=-x?ln（5x） ，lny-=0。 即y（）x=e0=1 （十）极限不存在的情况 1.极限不唯一 例 27.（-1）n=1，n 取正偶数-1，n 取正奇数，

13、因极限若存在，则必唯一，可见，该极限不存在。 2.极限为无穷大 如前面的例 7.和例 12.，都是极限为无穷大的情况。 3.震荡极限 经常涉及正弦函数 sinx、余弦函数 cosx、正切函数 tanx、余切函数9cotx 等三角函数及其连续的混合函数。 例 28.sin（11x） 和cos，当 x时，两者的极限都是震荡的，不确定的。因此极限也是不存在的。 参考文献 1韩群，宋立温.新编高等数学M.北京：冶金工业出版社，2009,（8）. 2候风波，李仁芮.工科高等数学M.沈阳：辽宁大学出版社，2006,（7）. 3李娜.IT 职业数学M.大连：东软电子出版社，2013,（4）. 4侯风波.高等数学M.上海：上海大学出版社，2009,（8）. 5侯风波.经济数学M.上海：上海大学出版社，2009,（8）. 责任编辑：左芸